Proposoiis-iious maintenant de développer la foiietion

impaire /Ji( s — -j\- Intégrant le long d'un parallélogramme

qui a pour centre l'origine, on verra, comme précédemment, f[ue le reste est nul. Les inlinis de cette fonrtion sont donn<;.s par la fornuile

dans laquelle il laul faiie varier m de — m' — i à m' et n de — n' — I à n'. Pour évaluer le résidu relatif à 1 nu qnelcon([uc de ces infinis, on posera

d'où

et, en verlu de la foiniulc (8) du n" 100,

Prenant l'intégrale le long d'un cercle infiniment petit décrit autoui du point considéré, on aura pour le résidu correspondant,

On a ainsi

et. eu rempiacaiit z — -j par z i . 4 '

(»4) ^{z)=—run 2 (—0" 2

Eu supprimant un terme infiniment petit a gauche, ce qui n'a pas d'inconvénient ^ on a , comme précédemment^

t'i, par suite 7

fx(z) = ; — nm

iïi — — (a^ + î)7rp I

71=— n'— j sin " — (?.n 4- sjîrp f

ou, plus simplement, d'après la remarque déjà faite.

Fl^J

- ( 2 « -{- I ) TTf j

Si l'on groupe les termes deux à deux, on obtient la série

n = oo Stt/ 2.Trz ■>«-» ( — i)" sin (2«+ i)Trp

47rz;'

(ib) ;i(z) = ; — cos • > —

„ Q cos 2 ( 2 « -!- i) 7rp — cos

que l'on peut mettre sous la forme

{'7) f*(z)=— r-^cos 2^ ^ i-Lj i i .

^ „ I — 2 7-"-+' cos^î f- «''('"+')

application à la fonctioti v.