Considérons actuellement la fonction impaire

DEVELOP. UES I"O^CT. ELLll". EN SÉRIE UE FKACTIONS. l3l

ïnlégranl 1(; long cruii parallélogramme qui a pour rentre l'origine, on verra encore que le reste est nul. Les infinis do I.i

fonction v ( z -\ ) sont représentés par la formule

dans laquelle il faut faire varier m de — ni' à m', et ?i de — n' a n' . Pour évaluer le résidu relatif à un infini quelconque, oji posera

7,z=.m — \- Wù -f- z ;

d'après la formule {9) du n" 100; on trouve ainsi pour h résidu

t — m n rj\'

et pai' suite

ou, en remplaçant z H par z,

(,8) .{z)=-iVnr^ 2 (-''' 2

En vertu de la formule (6), on a

m-=tn

lim

On en déduit

> . = (-ot , 2 «4-1) 770 r

(19) v(z)= ^'hm 2 (— l)''i-of -II^ — (2// -f-l)îr|5 [.

l3-^ LIVRE ir. ,

Les termes de celte dernière somme ne deviennent pas infiniment petits, (juand n augmente indéfiniment 5 mais ils tendent vers ±/. Il est facile de remédier à cet inconvénient j si l'on fait " =r o. l'édnalion [ig) <]onnc

n=n' 3= — ^ lim 2^ i[ — i)" fot (2 « H-i) irp.

On en déduit ' "' - ' •

tir:/ .

■'>{z) = - — Inn

2 ^ — î)"|cot(:^/î-M)7rp-hcot| hn-t ï)nr j

on, plus simplement,

(2o)t — '■>{^} = — sm Iiin >

^__„' sin (2/?-i- ijîrp.sin