TZ

— (2«--|- î) 7rp

Cette série ne présente plus le même inconvénient que la précédente ; les termes tendent vers zéro. Si î on ajoute un terme à gauche, ce qui est permis maintenant, et si l'on groupe les termes deux à deux, on a

Ski. 2 rr Z ■«-< . — I )" COt ( 2 ,7 + I ) ttc

OTZ l . -J. ~ Z -«-l

121) i—-j[Zj = sin- >

n=o ^^^ 2 ( 2 /? + 1 ) TTp — COS

cette formule donne celle de Jacobi

(22) \ — -j[z\ = sin-^ > j '- '- ,

!.> w ^^ ^ Lt: Z , ,

„0 ï— 2 ? "*" COS l-(7'("»+'j

Application à la fonction ts . 'i

118. Le développement de la fonction impaire u (2) ne présente aucune difficulté. Si l'on intègre le long d'un parallélogramme ayant pour centre l'origine, le reste est évidemment nul. Les infinis de la fonction rr [z] sont représentés par la

DÉVELOP. DES FOKCT. ELLÎP. ÎÎN sfilUK DE FRACTIONS. I 33

formule

ilans laquelle in varie de — /// — i à m', n de — n' a ti\ Si Ton

pose

OU a

eu vei'tu de la foiniule (i3) dun" 102. Ou obtient de la soite

ra ( z j = — — liin

'/)-■=: — Itl — 1

— (2 W + l) y — ft U'

H TVp j

et, en groupant les termes deux à deux,

2 sui - — - • y

1 t: z tane h 2

bi(

2 7T (25) cj (z) = — —

tani

4 sin

„Q cos 4 n TTp -\- ces