rz

«=o 14- 2 y'" cos -î ^q"'

119. Dans ce qui précède nous avons supposé le paramètre g égal à l'unité 5 les fonctions elliptiques dépendent du seul module h ou du rapport p des périodes. ]Nous avons vu comment on exprime les deux périodes, et par suite leur rapport en fonction du modvile à l'aide d'intégrales définies. Récipro(piement, on peut, à l'aide de séries, cxpiinier \v. module k en fonction du rapport p des périodes supposé connu.

LIVUE IV.

En eflet, si dans la série (i i) on fait z = y -\ , il vient

COS 2 « 77p \ *-rf COS 2 « TT?

.^i^ COS 1 TlTTO \ Àmà

Si l'on fait ensuite 2 = 75 il vient

w .^J COS ( 2 /? H- I ) TTp w -^-^

COS (2 « -f-l)7rp

Stz \/q

La série (26) donne la première période de 0), la série (2^) donne ensuite le module A.

En faisant z =z o dans la formule (17), on a de même

kz=

il cil résulte ridentité

y vl___ y (—'''"9" .

Quand on donne le rapport des périodes, les périodes ellesmêmes, et le module A, sont complètement déterminés. Mais la réciproque n'est pas vraie; quand on donne le module A, le rapport des périodes peut recevoir une infinité de valeurs ; car, si l'on remplace les deux périodes w et oV par un système de périodes elliptiques équivalentes

f.) ; = ( /[ fl + I ) f,) 4- 4 b w' , &)'j = 2 f w + ( 2 (Y -t- I ) &)' ,

DEVELOP. DES FONCT. ELUP. EN SÉRIE DE FBACTIONS. l35

' 'il a uu nouveau rapport

^' = (4«-f-i) + 46pV

lans lequel a, 5», c, f? sont des nombres entiers quelconques, îssujcltis seulement à vérifier la relation