CHAPITRE II

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN PPODtlTS n UN NOMBRE INFINI DE FACTEUUS.

Méthode générale pour le développement des fonctions en produits d'un nombre infini de facteurs.

120, Nous commencerons par établir quelques principes très-simples relatifs à la convergence des produits d'un nombre infini de facteurs.

Considérons le produit indéfini

dans lequel nous supposons que les lettres a^, aj, a^,... désignent des quantités réelles positives. Pour que le produit des 171 premiers facteurs tende vers une limite finie et déterminée indéfiniment, il faut d'abord que le facteur général i4-a„ tende vers Tunité, ce qui exige que a„ tende vers zéro. Mais cette condition n'est pas suffisante 5 il faut en outre que le produit

(i-f-rt„) (i-t-a„^.;) , . . (i-H «„+„,),

d un nombre quelconque de facteurs, pris à la suite des m premiers, ait pour limite l'unité, quand m augmente indéfiniment. Il est facile de voir que, lorsque la série

<7u -f- ri. H- (?, 4- . . .

esltonveri^ciile, le produit

l36 LIVUE IV.

est également convergent. On a, en elï'et,

et par suite

5 désignant la somme des termes de la série. Le produit augmente avec le nombre des iacteurs, et reste constamment inférieur à e' ; il tend donc vers une limite finie et déterminée.

D'ailleurs cette condition est nécessaire pour la convergence du produit, car on a

si cette dernière somme augmentait indéfiniment, le produit augmenterait aussi indéfiniment.

Il résulte de ce qui précède que si, à jiartir d'un certain rang, ia quaniité y'<7,„ reste constamment moindre qu'une quantité fixe iniérieure à l'unité, le produit est convergent.

\1\ . Considérons maintenant nn produit

(l+ «o) (H- M,) iI-H«2)- • •

de facteurs imaginaires. Appelons «oi ^ii «25 — -, les modules des quantités imaginaires iiç^^ Ui, 11.,^ — Si le produit des facteurs réels .,■■'.' , , . , , ■;. !.;•■,' ,/i s'K'j

est convergent, le produit des facteurs imaginaires est aussi ( onvergent. Le module de

(l-t- !'m) (r+ "m-,-,) • • • (l-f- flm+u-t) — «

est en ellet plus petit que la ciuantité

(jui est inlininient petite.

Il est à remarquer que si la condition précédente est remplie, ie produit

/i s) ^ (r f Woz) (i +- u,z){i-j- ihz). ..

DÉVELOl'. DES FOIVCTIONS liLLlV. E.N PRODUITS. liy

est convergent, quelle que soit la valiiii- de z : ce produit délinitdonc une fonction Unie et nionodrome dans toute 1 étendue du plan. ?Sous allons faire voii' que c;'lte fonction est eu outre continue et monogène ^ en ellet, désignons par P„ le produit des n ])reiniers facteurs, qui est une fonction monogène; il vient, en j)renanl la dérivée,

PI = P" X y -—^ —

(^uand n augmente indéfiniment, on a une série convergente, et P|, tend vers une limite iinie (jue nous appellerons P'. Ou a

e tendant vers zéro quand n augmente indéfiniment; d'où

Uo Jo i/o «/o

Si l'on fait augmenter n indéfiniment, il vient

^ V'dz=f{z)~i.

On en conclut

par suite, la fonction ^'(2) est monogène. Ainsi la fonction j {z) , définie par le produit considéré., est une foncliou synectique dans toute l'étendue du plan.

122. Après avoir rappelé ces principes , nous allons exposer une méthode très-ingénieuse imaginée par M. Cauchv pour le développement des fondions en produits d'un nombre infini de facteurs.

Soit y (2) une fonction monodrome et monogène dans une

certaine portion du plan^ comme nous l'avons vu (n" 69), le

f'[z) , quotient ■ n admet que des infinis simples, savoir les zéros

et les infinis dé la fonction /'( 3). Désignons par a un zéro quelconque de la foMclion/(?) dans cette portion du plan, par

l38 LIVRE IV.

jy son degré, el de même par a un infini quelconque , et par q son degré. Manquons d'ailleurs un point queleonque t dans celte portion du plan ; nous aurons

'.ni J (z — i

Fig. 23.

l'intégrale définie étant piise le long de la courbe fermée qui limite le contour de l'aire plane considérée, et dans le sens de la flèche.

Si maintenant nous multiplions les deux membres de cette équation par dt^ et si nous intégrons de fo ^ ^ {fig' 23) (^0 étant un point fixe situé aussi dans l'intérieur de Faire), suivant un chemin déterminé , par exemple suivant le chemin rectiligne , il viendra

log

dz = loiî

d'où Ton déduit la formule

^J- fil.

2Tr/ j /(

que

de h

on peut écrire de Ja manière suivante

la lettre IT désignant un produî! de fadeurs. ■

On suppose que la droite t^t ne passe par aucun des points qui rendent la fonction /(/) nulle on infinie. En outre les logarillunes (|ul (Milrent dans celte forniule se réduisent Ions à zéro

DF.VKLOr. DES FONCTIONS El.LlP. EN PRODIITS. 1?>(J

pour < = «0 et prennent ensuite le long de la droite des valeurs parfaitement déterminées que Ion suivra par continuité. Dans le cas particulier où ^„ = o, cette formule devient

Supposons maintoiant que Ton augmente indéfiniment, et dans tous les sens, la ligne fermée suivant laquelle on a effectué l'intégration , de manière qu'elle embrasse tout le plan , le produit sera convergent, si le facteur complémentaire, ou 1 exponentielle, tend vers l'unité , ce qui exige que l'intégrale définie

prise le long de la courbe, ait pour limite zéro. On peut simplifier cette expression. Le module de z étant plus grand que

celui de t tout le long de la courbe , log [ i — - | se développe

en série convergente, et l'on a

log^

e désignant une quantité infiniment petite. D'après cela, la quantité R devient

^ dz

Si le module de la fonction ,,, est moindre qu'une quantité

finie sur la courbe variable, la seconde partie de R tend vers zéro, et l'on se bornera à considérer la première partie

■^■r.ij f{z) z

Lorsque la fonctiony^(z) est paire ou impaire , la fonctiori

■ f'iz) r,K esl inipaiie; si l'on intègre le long d une ligne qui a pour

l4o LIVRE IV.

centre l'origine, cette dernière intégrale, ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est nulle; dans ce cas, la fonction J{z) se développe en un produit convergent.

application au cosinus.

123. La fonction paire cos z ne devient infinie pour aucune Fiig. 2!^. valeur finie de z ; elle admet

les zéros simples