TT Z = ( 2 M -I- I I
situés sur l'axe des x à égale distance les uns des autres {Jig. 24). Intégrons le long d'une circonférence décrite de l'origine comme centre , avec un rayon égal à (m'+i) tt .
Pour évaluer plus facilement le module, nous substituerons au cercle un rectangle formé par des parallèles à l'axe des y à la distance {ni'-i-i)n de part et d'autre de l'origine, et par des parallèles à Taxe des x à une distance très-grande. Le
module de la fonction - , J- = — lang z étant moindre que
l'unité sur les premières parallèles et différant très-peu de l'unité sur les deux autres, la seconde partie de R a pour limite zéro. D'ailleurs, cette fonction étant impaire, la première partie est identiquement îiulle. On a donc
cos t = lim
ou, (Ml lemplaçaiit t par 2.
lini
niz= — m — 1
Si l'on groupe^ les facteurs deux à deux, on oblicnl la for-
DIÎ:VEL01'. DliS 1 ONCTIONS ELLII'. V.S PRODUITS. l4l
nulle connue
m=oc
(4) coss^TTli— : ^^ ., . •
yjpplication au sinus.
i2i. On effectuera d'une manière analogue le dévcloppe-
sin z ment (le la fonction paire f [z] = » (|ui ne devient infinie
poni" aucuiie valeur finie de z, et qui admet les zéros simples z = luTX, à l'exception de 2 = o. Si 1 on intègre ]e long d'un cercle décrit de l'origine comme centre, avec un rayon égal
à m' TX ■+--■, nous \errons, comme précédemment, que la seconde partie de R a pour limite zéro, de même que la première partie
277/ J /(z) z 7.ni J \ z z' '"
que l'on peut réduire à
t r vol z I dz.
ini J z
On a donc
ni= — m'
m recevant toutes les valeurs entièies de — j?/ à tn', excepté
Si l'on groupe les facteurs deux à deux, on obtient la formule connue
m=^yj
(6) sin2 = z. n ( I —
12o. Considérons encore la fonction
l42 LIVRE IV.
qui admet pour zéros a — h -h [2 m -i- i) j- Du point h comme
Fig. 25. centre {fig. 25) , avec un
très -grand rayon égal à
( m -I- 1 ) - ) décrivons un cer-
cle , et supposons l'intégration effectuée le long de ce cercle, nous aurons à étu-
dier
intégrale
dz
Posons z = h -i- z', le point h étant l'origine de la nouvelle variable s'; l'intégrale devient
tant; / tani; ,
et se réduit à
mais cette dernière, ayant ses éléments symétriques égaux et de signes contraires, est nulle. On a donc
ces
WJ= — W — I
application à la fonction v.
126. Nous allons nous occuper maintenant du développement des foitctions elliptiques. Nous commencerons par la fonction V (z) 5 cette fonction est paire 5 elle admet les zéros
simples a = (2m + 1) -^ -tI- (2« H- i) — et les infinis simples
UÉVEJ.Ul'. DES 10^CT10NS ELLU'. EN l'UODUdS. \ /\i
a = !n- -h {"^n -h i) -• A parlir de l'origine, portons dans la
Fil! j'i direction de la prc-
p , , ^ /b , , / c; ■ mièro période, et de 7 -'- - l - l - i - -i . i . i .// pari et d'autre, une
longueur OA , OA'
t^§a'c«('"-+-i)-— g5 fk' s . j. . j. .oi . ^ . d: . J; ,11 ^^ jg même dans la
direction de la seconde période une
^^, P^ ^g^, ,— , ,1 longueur OB, OB'
égale à (//-f-i)o/; nous formerons ainsi un parallélogramme CDEF {/ig. 26), suivant le contour duquel nous effectuerons lintégration. L'intégrale
ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est nulle. On a donc
2/«-f-l}-TH-(2/Z + l) —
m - -h [in -\- i) —
Quelle que soit la manière dont on fasse augmenter m et n indéfiniment, ce produit tend vers la même limite v( s). Si l'on considère ce produit comme le quotient de deux produits, formés, l'un par les facteurs du numérateur, l'autre par les facteurs du dénominateur, chacun de ces produits tendra vers une limite distincte-, mais cette limite dépend de la manière dont on fait augmenter m et n indéfiniment. Nous supposons que l'on fasse augmenter indéfiniment, d'abord m, puis «5 ce qui revient à grouper les zéros ou les infinis par files parallèles à la direction w.
127. Examinons d'abord le produit dos fadeurs du numérateur, produitquc nous représenterons par 0 (z) -, nous posons
(c)) 0(2,)=lim
— n' — I w= — m' — il
f 2w4-l)yH-(2«+ I ) —
Si dans la formule (7) on fait // = ( 2 « -j-i) — , il vient
( 2 ;» -h I j -^ -f- 2 rt 4- I — 4 2
ces (2 n +1) 7rp
en substituant, on a
;io) 9(z)=li
ji=^ — 1 — I
ces (2 « -H 1 ) 7rp Si Ion groupe les facteurs deux à deux, ce produit s'écrit
t2 7T 3 ~1 \~ 2 7Z '- + ( 2 rt + I )'Kp CCS
-^1-)= Il ^^—
cos' ( ■?. n -hi)Tcr-
ou, ])lns simplement,
riL
sin'-
COS' ( 2 « -f-ll TTO
Sous cette dernière forme il est aisé de reconnaître la convergence. On aen effet
COS ( 2 « + I ) 7rp = ^
si, dans le rapport fies périodes, p = /-|- v/, la quantité s est positive, on écrira
g-(î«-t-i)rrp,v, l g:'(2n+i)7T/;,-\ ces ( 2 ;? -h I ) TTO =r i i
«ÉVELOPP. DES I 0JVCT10^S KLLIPT. EA PUOHUITS. 1 ^^
il OÙ
lim
sin' I »
LCOS^ ( 2 « -H 1 ) Trpjj
cette quantité ayant un module moindre que Tunité, le produit est convergent. Si la quantité s était négative, on trouverail pour limite e~ '^*', et l'on arriverait à la même conclusion. Ainsi, dans tous les cas, la formule (ii) définit une fonction synectique dans toute 1 étendue du plan.
1!28. Considérons maintenant le produit des facteurs du dénominateur, produit que nous désignerons par 0,. On a
n=n' m:=im
(12) G, (2)= lim
Si dans la formule [y] on fait A = — y -f- (2 n-i-i) — 5 il
vient
lim
ni^^ — m — I
t27TZ r , . 1 i (2 « + 1 J t:o
CDS f 2 « -f I ) TTO I
Il n'y a aucun inconvénient à remplacer par — m' la limite inférieure, qui est ici — m' — \ \ ceci revient à négliger le facteur
qui tend vers l'unité, quand m' ;ui2;m('nte indéfiniment. On a donc
{i3) 9. (2) = lim n -
nt= — n — I
l46 LIVRE IV.
En groupant les facteurs deux à deux, on écrira
sin^ ( 1
