LI

n +i)TrpJ ■

el l'on démontrera la convergence comme précédemment. Ainsi la fonction v est exprimée par un quotient de deux fonctions synectiques,

j4pphcalion à la fonction {x.

12V*. La fonction paire fx (z) admet les zéros simples

el les mêmes intinis simples que la fonction v{z). En intégrant le long d'un parallélogramme analogue au précédent, on verra de la même manière que l'intégrale

t r^'{z)dz J ri{z)y{z) 2T:iJn(z)z 2 7: i J

est nulle. On a donc

zix{z)

dz

u 1 z =: lun

Les facteurs du dénominateur forment la fonction Q^ ( z) 5 ceux du numérateur forment une nouvelle fonction syneclique que nous appellerons ô^ ( z ) ,

(,:) 6,(z) = lini W JJ

«=: — n in-= — III — I

DÉVELOP. DES FONCTIONS EI.LIPT. EN l'ROI)€ITS. 1 4?

Si dans la formule •; 7) on fait h =^ n w', il vient

^ -, CCS 2 « 77.5 j

n r-:^ Iz ;1=-^^^ ^

cos 2 « rrp et par suite

(18) ^,(z) = lirn J^J

2 TTZ COS I 2 /7 TTjS

COS 2 /l TTO

ou, en groupant les facteurs deux à deux,

(19) 9j(z)=cos^^- n

/ sin

ces 2 « T'J

11 en résulte

Application à la fonction /.

130. La fonction A ( 2: ) sannulant pour z=o, nous déduirons son développement de celui de la fonction -— ^,

"''■ 1' Zu ■

dont les zéros sont a-= — ZoH-m — i- «'»/. On atir<» .linsi au

numérateur de X (z H- z^) la fonction

>o)Hm II ]]

n=z—n /?(=: — ni

Si dans la formule (7) on fait /?= — Zq — y -\~ nw, il vieni

lim n / I

r2 7r (3 4- Zui -T "1

/ 2 TT Zo 77 >

x4o ■ "- LIVRE IV.

el. par suite, le numérateur prend la forme

"=" cos 5^ ^^ + -

2 « Tzp î

2 7r3o TT

COS I 1 nmzp

Nous supposerons le facteur ^(^o) joint à celui qui correspond à n = o. Faisons maintenant diminuer Zq jusqu'à zéro 5 les facteurs, qui correspondent à des valeurs de n difierentes de zéro, deviennent

cos I 1 2 // 7tp l • . ■ j, ^ .),.■-,

COS I 2 /?7rp j

celui qui correspond à /i = o , savoir

r27T(z + Zo) 7r~[ oj.COS^ O) "^2j M^») \1^{Z + Z,) ,

i =1 =z: cos h

/ 2 7rZo 7r\ . 27rZ(, I w 1- - — sin ■