PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION

132, Nous avons fait voir que Ton peut exprimer les fonctions elliptiques à l'aide de quatre fonctions synectiques comprises dans la forme générale

' \ It: z T^ , 7\"]

(,) @[z)a,b=e "' lim T| L « 2 J

il a (2«H-i — è)7rpj

Nous nous proposons actuellement d'étudier les propriétés de cette fonction 0, qui dépend des deux indices entiers a et b.

Nous remarquons d'abord que toutes les valeurs entières des indices se ramènent aux deux valeurs o et i . En effet, si l'on augmente l'indice a de deux unités, on augmente l'arc de TT ; les deux termes de la fraction changent de signe, et la fraction conserve la même valeur. On a donc

D'un autre côté, si l'on remplace b par è-h 2, on a

^^^^' 4£f' "="' ces — ^ + « - — (2 n— 1 —b)Tip

®[-^)a.t^.=^ e - e - lim \\ . L « ^ J

1=.— »'— I ces

|^«^(2/z-i— è)7rpj

On introduit ainsi dans le produit un facteur nouveau, celui qui correspond kn = — n' — i, et l'on supprime au contraire le facteur qui correspond h n z= n' -, le premier,

ces

r 2 TT r. 7T , ]

cos a - -{- {1 n' -i- 3 -+- b) Tzp

a pour limite c ''' , quand n' aiigmcnic indéfiniment ] le se-

rUOPIXlÉTÉS DE LA FOIVCTION 0. l53

cond,

t27rZ TT ; \ I

2 «'H-I — 6) rr(

bî

a pour limite e '^ , en sup})Osaut toujours 5 positive. Par celle modification, le produit est multiplié par e ^' -, le facteur

e ''^ étant introduit en avant, rien n est changé dans l'expression, et l'on a ; . . l .

Ainsi la fonction 0 n'admet que quatre valeurs différentes, celles que nous avons examinées précédemment.

133. Sur les expressions (I) du n° 131, on voit que les trois fonctions 0, ôj, 9^ sont paires, et se réduisent à l'unité pour z = G 5 la fonction 0^ seule est impaire et s'évanouit avec z. Sa dérivée devient égale à i pour z = o. On a en général

(4) ei-zU^i-iY-'&izU.

Les deux fonctions 0, 0, admettent la période-; les deux autres 02,03 admettent la période w, mais elles changent de signe quand on augmente ^ de -• On a en général

(5) ®(^ + ^) =(-,)*© (cU.

Si , dans la formule générale, on remplace 2 par z-+-(ii', il vient

^^^^' "="' CCS ^^ -h a - — (2« — I — Z>)7rp

„', CCS

a- — ( 2 « -h I — ^ ) 7rp I

en divisant «elle valeur de Q( z -f-fo) par celle de 0 (z). on

i54 obtient

Q(^ + '->') jibnpi TT

©(Z) 11 [ITZZ TT ^ ^^ T^

et, en supprimant les facteurs communs,

cos

ha — h (2n''h3 + b)T7p

cos

27r3 TT

h « ( 2 «' + 1 — ojnp

— fiTZZi

Ce multiplicateur a pour limite ( — i)'»e~'^^"'"')'^'" e " , quand fi' augmente indéfiniment ; on a donc

ou bien

B{z + oy') 6, (z + w') 02(z-f- w') ea(z-f- w''

On voit par là que les fonctions 0 n'admettent pas la seconde période w', mais que lorsque l'on ajoute w' à la variable, chacune d'elles se reproduit multipliée par une exponentielle.

134. Si , dans la première et la troisième des formules (III) du n° 131 , on remplace z par s H- y? on a

cos 1 ( 2 « + l j 7rp

cos ( 2 « -4- I ) 77p

27VZ TT

cos I 1 7. n Ttp

0J.-+-; =iim n -

En comparant cch deux exprcssioJis à la deuxième et à Ja qua-

PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION 0. l55

trième formules, on voit que les lapports

0,(2) — Ojiz)

sont constants. On obtient leurs valeurs en faisant z = o ou z = — y 5 ce qui donne pour le premier 6[j \ ou — j— « pour

ni)

le second — ;— r-* D'ailleurs, les quantités Ôi 1 -r ) » Sj ( -7 ! sont égales entre elles, puisque X ( -^ | = 1 . D'un autre côté, on a

il en résulte

'^^^^Hr<i

On a donc

ou bien

Ainsi quand on remplace z par son complément j — z, les

fonctions 0 et ôj, 6, et 63, se permutent Tune dans l'autre à un facteur constant près.