Reprenons la relation

4 71 zi

En prenant les logarithmes, el dlfl'érentiant, on a

rflog0(2 4-w') ^T.i d.\o^e{z)

dz -, w dz

J.a Jonction monodrome ^, — — ou — 7— est impaire: elle

dz &{z} ^ . '

admet la période -■> et, cjuand on ajoute 0/ à la variable, elle

éprouve ini accroissement constant — Kn diiiercnliant

une seconde fois, nous aurons

d- log 0 (z + w') d' log 0 (z)

d^' " dz^

Ainsi la fonction monodrome ^ ou admet

dz' 0-

la seconde période w'. C'est une fonction paire doublement périodicjue du second ordre ; le parallélogramme élémentaire,

formé sur U.'s deux périodes -7 ro', est la moitié du parallélogramme relatif à la fonction /; elle admet comme infini double, dans chaque parallélogramme élémentaire, le zéro de la fonction B situé dans ce parallélogramme. On pourra donc rex])rimer aisément au moyen de celle des fonctions 1^.

— , — , —1 (uii. ayant les nièm(\s périodes, admet le îuème infini

double. Si, |)ar exemple, on (oiisidèie la fom tion 0,, on aura

./Mou 9, (;)

l'UOrr.IÉTKS DE LA lONCTlON 0. 1 65

Ou peut (léleiminer les coefficients par les considérations

suivantes.

141. Les fonctions elliptiques /, p. , v sont définies j)ar les équations différentielles

que Ion peut mettre sous la forme

' d loy a\ " , , , I

dz " \-

dz

En dillérenliant, on obtient les équations du sc<ond itidic

rjMogX , I

dz- a'

• dz^ y- y-

dz' V- v'

Si dans les premiers membres on remplace?., u, v par leurs \aleurs au moyen des fonctions 0, ces équations deviennent

/ r/-l()gO(3) r^ __ r^logO, (z)

^^'^ i^Moge,(z) r> ^/-log9.,(^) , I

\ dz- r[^) ^^^' '• ( z )

Ces quatre (juantités égales, étant des fonctions doublement périodiques qui n'ont pas les mêmes infijiis, sont égales à un m("'me constante a

l66 LIVRE IV.

. En faisant z =o, on obtient la valeur de celte constante

142. De c|uelqiie façon que l'on prenne les fonctions 0, elles satisferont toujours aux équations différentielles (21); seulement la valeur de la constante a changera. On peut'done considérer les fonctions 0, cjue nous avons étudiées juscju'à présent, comme des intégrales particulières des équations (21): les intégrales générales sont

— ■-hfis-i--/

|3, y étant des constantes arbitraires,

143. Voici ejicore une propriété de la fonction 0 ((u'il (st bon de remarquer. La fonctî(m monodrome paire

. est doublement périodique, aux périodes - et o)'; elle admel comme intînis doubles les zéros de© [z)\ on 1 exprimera au moyen de celle des fonctions À^, — ' ~' -; qui admet le même

infini double: il faut prendre la fonction 0 avec les mêmes indices au numérateur-, mais les indices de 0 [z) au dénominateur pourront différer des premiei^s.

On aura ,. par exemple,

la fonction devant s'annuler })Oui' s = ±a, et se léduire à l'unité par z=.o.

On aura , de même,

DÉVELOP. DES FORCT. ELLIPT. EN SÉRIES CIIlCfLAlUES. l6j

CllAVlTRE lY.

DltVELOPPEMEJNT DES lONCTIOPJS ELLIPTIQUES EN SÉRIES CIRCULAIRES.

Dci'cîoppcmcnt fie Ici fonction 0.

144. Si Ion pose / = e ^ , la l'onction 0, adnieltant la période w, est monodroinc par rapport k t ; d'ailleurs elle conserve une valeur finie pour toutes les valeurs de f , excepté pour « = o et Z =: oo • («11 vertu du théorème II (u" 30), elle se développe en une double série coiiveri^ente suivant les puissances entières, positives et négatives de r.

Quand on remplace z ])ar z -\ — -, on change le signe de /,

J^a relation

démontrée au n° 133, fait voir que la fonction 0 ne change pas si b est pair, et change de signe si b est impair. Dans le premier cas, la série ne contiendra que les puissances paires de f, dans le second cas que les puissances impaires. Cette série sera donc de la forme

r; = — -oc

145. Il s'agit de déterminer les coefficients A '" . Si 1 on remplace z par z -h o)', il vieni

!)(< la relation

^> V = + 0'')"- fr = (—')" '•■" ""'' ' <■■ « ( "i", b ,

ït'S LIVRE IV.

dénioiili'ée au même luiméio, on déduit

2Tr 5(

0 (s 4- w%, 6 = ( I )« c- ^ T^P '■ y AC") t>

(2WH-i).

la compaiaison des deux valeurs conduit à la relation

En donnant successivement à m les valeurs o, i, 2, ni — I , on a

d'où l'on déduit, par la multiplication, On obtient ainsi l'expression

w/ = — oc

que Ton peut mettre sous la forme

a' b m =^-i-ca

Nous avons affecté la constante A , c'est-à-dire le coefficient iu terme correspondant à m := o, des deux indices a et h^ )arce que la valeur de ce coefficient dépend de ces deux indicés, et nous avons compris dans cette constante le facteur

7t IJ' p '

Puisque

DÉVELOP, DES 10>CT. ELLIPT. EN SÉIUES CI RCLEAII'. ES . iGlJ

il est clair que

Si dans la formule précédente on remplace h par />-h2,

ou a

en observant que (— 1)~^' = ( — i)"' = ( — i)", ou

IMais on sait (juc On en déduit

Ainsi toutes les constantes se réduisent aux quaH(! suivantes

Ao,05 A|,oi Ai),i , A|^i .

iM\. On peut faire dépendre ces quatre constantes de deux d'entre elles. Dans la formule (i) faisons b = o ou Z> = i, nous aurons

•J7r( j 2 w — -hnr p j

— — 2Ti' (2«i-i- l) - -<-(-JW-+-l)-7

et, eu remplaçant dans la première z par z -\ »

-pz iiti\{im---i)--^{im-^-i)-j\

Aa.uyi-'r^-

lyo LIVRE IV.

On (11 déduit, en donnant successivement à a les valeurs o et I ,

en comparant ces équations aux équations (i i) du u" 135, ou obtient les relations

Aq. I A,,i j^

Ao, 0 A 1^1, y//-

on a donc

. Aq, 0

Aa. I — — ;=-■>

ou, plus généralement,

2) Aa.b = A„.„ /■

Ainsi toutes les constantes se ramènent à deux, Ao,o ^.'l Ai^o- I47. De la formule (1) on déduit

-^ 2 711 1 5W hnrp

2 TT ( { 2;w h-w'

0(z),,„=rA,,„ ^i-^)"

Si dans celte dernière fornvule on remplace z par z-\- y^

il vient

©lz+ 7 1 =A,,o

• (5) . -^ Ao n

T1ÉVELOP. DES FONCT. ELLIPT. EN SÉRIES CIUCL LAlRES . IJl

Eu vertu de l'une des relations (9) du n'' 134, on a

<'l en geiicra

La relation (2) devient ainsi

cl 1 on airivc à la l'oiniule générale

f X y [—iY"'e V ''-" ' ' /|J

qui représente dans tous les cas la fonction 0.

1-48. En appliquant cette formule générale aux quatre fonctions 0, on a

, (H=;VD / 2 m z \

i '-Il 1- nr 0

( -i- ni

ni^= — ce

fil

w= — ce

*= ,,,r(3"' -'-lis , ,. .c-i

niz^ — y

172 LIVV.E IV.

Si l'on groupe les loinies deux à doux, ces formules deviennent

[w=co -1

fin

m=x ( 2 »« -t- 1 )" TT/Î I 2A '^ " '2 ?.(2W + 1)7:2

3,s) = -y > ^ cos-^ ^ — .

w=a: ( ■> 7?< -4- I )° rrp ('

0,(z) = -— = V i—iYc '^ sin

En représentant par q la (juantité e'^'", on mettra ces formules sous la forme

|ô(=) = Arn-2 y '/"'^«^^l'

1 k\l q ^ , ?. ( 2 /?/ + 1 ) TT z

flV