L > 7-"""+ ' .' COS

ni=<j

; 9,{z) = -0- 2 (-0"' 7'"^"'"" sin

mr=o

Ces dernières formules sont celles données par Jacobi, à des facteurs constants près.

119. Il reste a délenviiiur la (ftnstanle A. \ oi( i rarlifice imaginé par .Tacohi,

DÉVELOP. DES FO^^.T. ELLIM . EN SÉRIES CinciLAIRES. I jii c- 1, 2 7rz . ,, , / V 1

oi 1 on pose x = 5 et si 1 on représente par cp (r/) (ii;i-

cune des deux fonrtions de r/,

égales entre elles, en vertu des relations (i4) t't {16), du n" 136, on a, en comparant la seconde et la ([ualriènie des formules (11) du n" 131 et (I\ ) du numéro précédent,

n=:oo TT [l — 27'"-^' COS2X-f- r/ns"+0]

= 'f{^/)\ i-+-2\^ ( — I j'" 7'"' COS 2 w.r L L m^^ I J

sin x TT (1 — ?.fj-" ces 2.T + (J*")

llz^ I

= ?('7)y^ (— i)"'r/'"('"+'^ sin(2m + i)x.

Les deux membres de chacune de ces égalités sont ideniicpies, quelles que soient jc et q. Remplaçons g par <7^, et multiplions membre à membre, en remarquant que le produit des deux premiers membres donne le premier membre de la seconde égalité, nous aurons identiquement

?(7''?l '-f-2 > ( — 1)"' 7 -'"'ces 2/;;.' |

X ^ (—1)'" v'"'^'""^' ' sin ( 2 Art -^ I ) .T

rn=zo

Eli égalant les coefliclonls des termes eu siii:t', il vient

ni=zo

Mais si dans la seconde des écaillés primitives on fait x = -■>

on a

n:=oo mz=<:^

on en déduit la relation

OU

En remplaçant de nouveau ç par //' et ainsi de suite indéfiniment, le module de <7 étant moindre que l'unité, on arrivera à l'unité comme valeur constante de cette fonction ; on a donc-

d'où

et. par suite,

Il z^ yi

En comparant cette formule à celles du n" 136, on obtient la relation

DÉVELOP. DES lONCÏ. ELLII'T. E> SÉRIES CIRCULAIP.ES. 17^

générale