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DKVELOP. DES lONCl. KLLIVT. F.S SÉHIES CIRCUL AIUV.S . I J 7

valeurs de / fortiicnl eu quelque soile deux spirales qui, d'une part s'éloignent à linlini, (>t d'autre part se rapprochent indéfiniment de l'oriiriiie. De Torisine comme centre, avec des

îayons éi;aux aux modules d(; <7 " et de /^ ' , //désignant vui nombre entier quelcoîKjue . déeri\ons deux cercles, la fonction À sera développable en une double série convergente suivant les puissances entières, positives ou négatives de la variable t entre ces deux cercles. Tl est aisé de voir que quand 'c point t tourne indéfiniment sur une circonférence ayant pour centre 1 origine, le point z décrit une droite infinie parallèle à la direction ',■>. Il en résulte que, si l'on remplace

t par e '" , on aura une série ordonnée suivant les puissances de l'exponentielle et que cette série sera convergente pour toutes les valeurs de z situées dans la bande déterminée par les parallèles à la direction o), menées par les points

îl faïuiia une série particulière pour chaque bande.

Supposons d'abord /?=o, le développement relatif à t

s'effectuera entre deux cercles ayant pour rayons les modules de

—^ et de v/;. et relativement à z

entre les parallèles G'G, H'H H {fg- ^-7) menées à la direction oj

par les points z = ■> z = — •

La fonction À (s) étant impaire et changeant de signe quand on

augmente z de - •> on a

-{■im

1 tS 1 I \ r, E ] V .

ÎTJi. \ i)ici comiiu'iii on priil (léterminci' les coellicieu(r< «le cette st'-rie. Après a\oir niulli[)]!<'' tous les termes par

i'- , intégrons ne an — siiivanl le eliemin rec-

tiligne A'A, nous aurons

Portons clans la direction u{ la Joni?;ueur OB égale à «'w' eJ considérons 1 intégrale

prise le long du contour fermé A'ACDA', tracé, comme l'indique la ligure, de manière à éviter les infinis. La fonction reprenant la mèn^e valeur aux points correspondants des deux lignes AC et A'D, les parties de l'intégrale relatives à ces deux lignes se détruisent. D'un autre ( ôté, si l'on augmente n' indétlninu^nt. la partie relative à CD devient nulle; car, si l'on pose z -=i u'')}' -{- z\ on voit (juc l'intégrale

relative à celle ligne diminue indéfiniment. L'intégrale prise le long du contour fermé se réduit donc à la partie A'A.

On sait qne le résidu relatif à Taire plane A'ACD est égal à la somme des l'ésidus lelalifs à tous les infinis compris, dans cette aire plane. Ces infinis sont disposés en deux files rectilignes OB et AC. Pour passer de la première file à la

seconde, il suilit d'augmenter z de-: /{-) ci l'ex-poni^ntielle

c:^ '" cliangeant de signes <à la i'ois, leur produit re-

prend la même valeur, et^ par conséquent, la seconde file

nUVKLOP. ORS 1■0^•CT. F.J.l II'. EN Sl':niE.S r.inCLI.UliKS. l~()

cloiuie K's mêmes résidus fjuc la première. Un inlini (iiu'Icdp.que de la preniièic (ile est de l.i ff)rme (2/i +1) — ; si l'oii pose

il Vient

et 1 on a à calenli I l'iiilreralc

le long d un petit r(r<lr déciÏ! autour du ]X)iiit (2/2 ce qui donne

ni -^ I ; —

On a ainsi

il! y .y

et. par suite

(WV -,.

— — -, sm ! 2 m

loo. De cette série établie pour la bande rompiise entre les deux parallèles menées à la direriiou o) par les points

on déduit aisément celle qui convient à la bande comprise entre les parallèles menées par les points

( 2 « — T) oj' r 2 n 4- 1 ) to'

z = ^ '- — et 2 = 5^ '— •

Car si 1 on pose

l8o l.l\l! E IV.

]a iiomelle vaiiabU; z' icskiiu conipiise dans la pK.'iiiiôie bande, on pourra appliquer la formule piéccdente, ce qui donne, en remplaçant c'par z — wa'^