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DévcIojypvDiciU (le. la j'onch'ou u..

150. Les mêmes considéralions s appliquent à la tonelion ^u. Celte fonction ayant les mêmes inlinis ipie la Ibnction A, lo développement s'effectuera daus les meuies liandes. Cette Ibnction étant paire, et cbang(>ant de signe (juand on augmente

z de -7 le dcveloppemcnl sera de la forme

yB„,

— ('JW-l-l)

Va\ nous bornant à la picmière bande, uous déterminerons eomnie précédemment les valeurs des coefficients, et nous aurons

IX a -. = -— ^ > ^-^^ ces 2 ;w 4- 1

DévelopfH'ffneiH de la fonction, v.

i57. Celle fojiclion étant paire et admettant pour piemlère période -1 le développement auia la forme

i m T zi l^nt-K si

INoiis nous bornerons encore à la piemière baiule, com[)ris outre les parallèles G' G ^ H' H ( /% iH). En intégiantde —

DÉviaoi' DL-s roNH. i:LJ.ir. k.\ sliiii.s cirvCUL\iKr>.

iSi

à - ■> siiivatilli" (Itcmiii n( liliiiiic A' A. (tii a

Vicnons la loncruour AE ésalc à co', cl coiisidôroiis 1 iiil(''i;ial(

- I v[z)dz, prise le loni; du (oiil^-- Unir fermé A'AEF^ les poi lions ic-

lalivcs aux côtés AE, FA' sedctriii scnl: la foiiclioii v(^) changeant (le signe <|nand on aui;nienle z (le fi)', la partie relative à l'-l est épale à celle relative à A A: ainsi la (|uantilé 2i\ est égale à l inlc'giale prise le long du contour dti ])aralIé!ograinnie. contour rpic I on jH lit réduire a un kmcIc inliniment petit décrit autour du

poiul " = — bi Ion pos(;

on a (n" UK))

' [ l on obtient — pour xalcni (!<■ linli-grale , ce <p»i donne le premier coeOicienl

On obtiendra les auttcs (oeHieienls en ijil(^2ianl suivant

I niTT :t

A' A , après avoir jnullij>lié pai c '" , ce fpn donne

~ I III — ;i

(%„ = - / .(z)r '■' riz.

i02 LIVRE IV.

Prenons la iongneui' AC éi^ale à n' (j)\ et considérons l'intégrale prise le long du contour du parallélogramme A'ACD; la partie relative à CD devenant infiniment petite, quand n' augmente indétiniment , il suffit d'évaluer les résidus relatifs k la file d'infinis situés dans ce parallélogramme. Si Fou pose

ce (pli coMîiuii à 1.! valeur

tr,:~ ^^— > — I )'■■ ff"". -•"-- J = 2 i

et l'on obtient ainsi la fornuiie

Développement de la Jonction Vî[z).

îo8. Les infinis de la fonction w (z) sont les zéros de la Fig. 29. fouction fJt (z) -, ils sont représentés

par la formule

à ces infinis correspondent les valeurs ^ =± iq" ; le développement sera convergent entre deux parallèles à la direction w menées par les points 2 = 7i 0/, z ^ [n -\- 1)0/. Considéi'ons en particulier la bande comprise entre les parallèles G'G, H' H, menées parles points ;î = o , ^ = w' [Jig. 29).

Afin de transporter Toiigine au milieu de celte bande.

DiN i-.ior. i>i> loAcr. K.i.Lir. en si:iaK.s ciuci laiuks. iS;>

}M).SOIl?

don (il" 102!

La qucslioM ifvîciit donc à dévcloppi'i la loiu lion -— -^r dau^

la bande comprise enlre K'> parallèles meiiccs par les point

Celte fonction tMant paire et admeltanl la période -j le dé\eloppemenl est de la forme

L'intégration le long du concours fermé A'AEF donne le premier coefficient Dp-, l'intégration le long du contour A'ACD donne un coefficient quelconque D,„. Ou obtient ainsi la série

4 > ( — « / — f"os

On en déduit

iXI)o(z)=^

i84 LIVRE iT.