Consldéious une intégrale dëtinie
tlans laquelle J [z) désigne une fonction nionodiome doublement périodique de Tordre n. Si l'on remplace celte fonction ])ai' son expression au moyen de la fonction du second ordre / [sz,h), qui admet les mêmes périodes (n° 78), il viendra
dz
— j --(Iz-^ l 1-^ (Z ,
L, M, jN étant des polynômes entiers en 1 [g^)- L^i seconde intégrale, pouvant être mise sous la forme
s'exprimera aisément au moyen de la fonction X. Quant à la première, on peut la ramener au cas où la fraction rationnelle
— ne contient que des puissances paires de 1. On a , en eft'et^
M M' -hM"i (!\r-)-ivra) {\J — V'i) p + q>i
L~ V-hV'l~ L'^ — L"n^ ~ "~ R '
L', L", M', M", P, Q, R étant des polynômes pairs-, d'où
dz
r^Mdz r' Pdz r^QAr,
On obtiendra cette dernière intégrale en la mettant sous la iorme
DES OUAUIIATCICS ELI.l l>TI(^L ES . I 85
Il reslc à étudier 1 iiilc'i^ralc
r^ vdz
clans laquelle P et K désignent des polynômes pairs en À.
160. Avant d'aller plus loin . nous tiailerons queUpies exemples particuliers. Soit Tintégrale définie
f[z)~ I l{z)(lz,
dans laquelle nous supposons le paramètre^ égal à 1 uniié. La i'onctiony^(2) n'est pas nionodrome; lorsque z tourne autour de l'un des points qui rendent la fonction X infinie, elle s'ac-
croit de ±——] mais la fonction F(^) =e''-'^- esimonodronie.
Des deux intégrales rectilignes
0 Jo
la première, ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est nulle; la seconde (il est bien entendu que Ton é\i te
1 infini par une petite courbe) est égale a ±: '-^: si l'on va de
l'origine au point z par le chemin recliligne, ou au point mw-h 2«w'h- z par la ligne brisée nioi -h 2n(à'
tilH^ XJilO^^K^ lll\JJ — I ^li,\XJ ~[ *^ ,
on
obtiendra la même valeur de F (s) : cette fonction admet donc les deux périodes w et 2 'si' .
On obtient aisément l'expression de la tonelion/(s) à l'aide des fonctions elliptiques. On a , en eiïet,
dy. I J/i'-' 4- A- a- — f; ■j.
-- T lOii —. '-
lf^" + /=«^ ' ^
(%,.),.= ■„,, iM-^Mi],
L inîégiiilc (iéliuio se raïuèuo à la précédenle. Si Ton pose
On oblieiU aussi très-aisément les intégrales suivantes ;
(3j I p, (2) c/c. = - arc sin Xa (s),
(4) ' .1 V (s) ^/^ = arc sin A ( s) ,
(5) i f. { -, — Z] dz ■= -— ÏQCI LJ ,
= - loir —4
1(51. Considérons maintenant 1 intégrale définie
/{z)= r-{z) dz.
Quand la variable tourne autour de l'un des points qui lendent /infinie, X^ ne renfermant pas d infiniment grand du premier ordre, l'intégrale définie est nulle et la fonction f {z) reprend la même valeur 5 c'est donc une fonction monodrome impaire qui admet comme infinis simples ceux de À. Mais elle n'est pas périodique, parce que les intégrales rectilignes de o à w ou de o à w' ne sont pas nulles. Nous avons trouvé au n" 1-41 l;i rclaliou
d- loL'Ô, (z) , . , ., ,„, ,
liKs OLAUKAXl.niiS ELLIITIQ L ES.
Uii eu (léduil (7:
Ou a de lucnio . en veriu des relalious analogues,
lO\ r' <l' l '-'X n r^/ loi» 6, (z)'
l"*" <-/3 2 &; ( O j I ri log Ç» (:
/?'- r^ dz
