Occupons-nous actuellement de Tinlégrale définie

l I — n '/.' [z ^ous avons trouvé au n'^ 113 la relation

0,('«-l-z)6Ja — s) >,^(2)

En prenant les logarithmes et différentiant, on en déduit

b'Jy.-+-z) 9'^(a— z) ^) 2). (2)/' (s)

9, (a -h 3; ~~ 93(^ — 3) ~ ^ &7izl ~~ >.''{z) — V{a.) '

si l'on permute les lettres s et a , il vient

9',{z-ha) 6'Jz— g) &',(«) 2 A (a) /'(a)

^3(3 + ^) ~ 0,(3- aj ~ " Ô7(T) ~ V(a) — A'(3)*

De celte dernière relation en déduit par 1 intégration

Si Ton fait /.-(a)=:-, on aura lintégrale cherchée.

JNous avons trouvé aussi au n° 143 la relation

iSS LIVUE IV.

On en déduil, en dillérenliant par iaj)poil à a,

• Fou

A'V{x)V{z) ~ G,(a) 2 ''Ô, (z + al

Si l'on fait À'' (a) := -^5 on aura eneore l'inlégrale ehciehée.

Si le module A est réel et moindre que l'unité, et le parainèire a aussi réel, on emploiera de préférence" la formule (11) lorsque le paramètre a aura une valeur positive plus grande fjuc l'unité, et la formule (i3) lorsque la valeur de a sera positive et moindre que k'- ; de celle manière la coiislanle a sera réelle. INJais il est deux cas où 1 on ne peut éviter les imaginaires, ce sont ceux où le paramètre a a une valeur posilivi' ( omprise entre A' et l'unité, ou bien une valeur négative. Ces deux cas se ramènent d'ailleurs l'un à lautre. En effet, si l'on

remplace z par 7 — r' on a

f ^ r i-pr'{z')

J i-aV{z\ J i-~a + {n — /,-')y{z')'^

/>■' . a fi"

I osoJis « := . 1 eciualion i)recedenle ramené 1 une .1

1 autre les transcendantes qui correspondent aux deux paramètres a cl (i . Si a' est négatif, a est positif et compris entre A- et I .

'16r^. Les intégiales (juc nous avons étudiées dan.'^ les deux numéids prc'iédcnls suilisent poui détcrminei 1 inlcgralc

DES UUADUATUf.KS 1 l.l.l l' l IQU ES . \Si)

la luiHliuii lalioimcIK' 1' (X-) se dt'CDmposc eu [iuilus df l.i turme AX'"', m ctaiil p(»5,iiir nu ii(''i;alil, ri vu Icrnirs de la

forme ^ > /// claiil no^ilil. Occuixiiis-iioiis <l ahoi'l des

().M-rt)"' ' '

tenues de la première -.orlc On a

tJ l'" il >.

dz dz

d'y , d'\ ' , , .„ , lcn\

dz' dz- \ dz I

el,en remplaranl — - -— par leurs \aleurs,

'■ dz dz

— - = m {m — 1) )-'""■- — 7?i- (i -+- k' ) a" + in (/?/ H- 1 ) /i i'"^'' ;

d'où

,4) 'i±!— ;;,(,„,) I )".-',/3,;/.>(,+A') T A"' r/z -(- W ( W + I ) X ' j ^^'dz.

A Faide de celte équation, ({uand on eonnailra 1 l'"~'' rfz cl

/ '/.'"clz, on pourra calculer | /"'+-r/z, et, de même, (juaui!

ou connaîtra / 7.'"'^- riz et | l"'(Jz. ou pourra calculer

1 X"'~' r/s. Toutes les puissances paires, positives ou négatives, se ramènent ainsi aux deux iutéirrales

r (iz r

que nous avons exprimées à Faide des fonctions 0 (n" 161). (]es deux intégrales se réduisent d'ailleuis à une seule, en vertu de la relation (n° 141)

<■/■ lo:r A , . I

dz' A-

d'où

f/iouA . r. . r^iz

164. Occupous-îious mai menant des ternies de la seconde sorte. Désignons par y la fonction doublement périodique

X^ {z)-i-n, dont les périodes sont - ei w' et qui admet Tin-

fini double — Si. dans 1 équation

on reiujdace À- par y — ci . il vient

i%) "'~ ^''^' ^ Ci + /-■)« + /.-«M

— 4[i -h 2a il + P)-^3A'-a-]y

— 4 ( 1 -4- -<'■'+ 3 /- a) >■' H- 4 '^ '.> S «■/IcgjA -' 4 '^ [ ' -^ ( ' -^ /.- ) ^7 -î- X' /7-]

4 r? + 2rt (I -i- /,■-) + 3/-r/-i

r/- log j 4 '^ [ ' + ( ' -+-/')«-+- >^- «■ ]

Cette équation donnera 1 -^5 connaissant i -^(n"162). De r équation (i5), on déduit

^= 2[i + 2a(i-l- ^-=^ + 3/^-'«^]— 4(i-l- ^' + 3/-r7) rH-6<=j-'; (iz-

l'on remplace ( -r- ) et -t-7 par leurs valeurs dans l'équa-

tion il vient

dz-"-

-+- im il m — \)\\+ 1(1 ( I + A- ) 4- 3 fr a'-]y"'~''

^lOj —pp = — 4"'('" — 1) « [1+ fn- /■-) « + /-^rt^] j'

DKS (^)l, ADUA'l'l r.F.S II.I. I l'TIQ t KS. KJl

l-'.ii lais;nil sdCcessiN emoiil m = — r, ,'/i = — .>,.., on <l('-- (liiiia (le celte équation

rdz r<lz

f)cs trois irafiscciulanlcs de Legcndre.

lOo. On reneonlr'e souvcMit dans les applications des intégrales de la forme

<Ians la(juelle 11 désii^ne la racine caiice d un })olvnome en x tin troisième ou du (jualiième degré, et / une fouctinn rationnelle de X et de li. (lelle Ibnction pouvant s écrire

■ ' ' P-t- QR P^- Q2R2

]M, IN, P, Q étant di's polynômes entiers en .r, F et F, des

fonclions rationnelles, on a

t. a piomière intégrale sOblenant aisément, il reste à ('tudicr la second i>

Pai' uuc transformation faiùle, on ramène le polynôme R à ne contenir que des puissances paires. Soit

si Ion ])Ose

a -4- in

on aura

tlv [b — - a\ (ÎY

R s/A[«-a + (6-aW-][«-p+(è-B)7][rt-74-(é-7)j][fl-^H-(è-,î)rf

Ci loii fera dispar.ùdc les puissances impaires, en assnjeltissant les Jeux constanlcs a el b à vérifier les deux relations

' ' [a -y){b-'l)^-{a - 'j){h~^^] = o, OU

■2 ah — ■ a -t- j3 ) (« -4- /; ) -f- 2 aS = o , 2 ni) — (7 -h rj ) ( fl + /; ) -1-270 = 0;

trou

Lorsque le polynôme R' a ses coelïîcienis réels, ce qui a Heu ordinairemenl. ses racines sont réelles ou imaginaires conjuguées, et les deux constantes a et b peuvent être supposées réelles. En elVet, ces deux constantes dépendent d'une équation du second degré, dans laquelle la condition de réalité des racines est

Si le polynôme R- a ses quatre racines réelles , comme ou peut les supposer rangées par ordre de grandeur, la condition précédente est remplie; si les deux racines a et (3 sont imaginaires et les deux autres réelles, les facteurs a — y, (5 — y étant conjugués, ainsi que les deux autres a — 0, (3 — J, le produit est positif; enfin si les quati^e racines a et t'3, y et d sont imaginaires et conjuguées deux à deux, les facteurs a — y, (3 — 0 étant ( onjugués, ainsi que a — â^ |3 — y, le produit est encore positif.

A la vérité la iranslormation précédente est eu défaut (junnd

DES Ql AUUATl UKS îiLLU'TlQLES.

mais, (!;ms ce cas, on a

K- A [.r'- - (a -h |3) .r + afi ] [.r^ (a + fi ) X + -/(î J

ot, })Our faire clisparailre les termes de di.'j^ré impair, il suffit de poser

a + fi .r--— = r.

jNgus avons supposé le polynôme R^ du quatrième degré; la même transformation réussit, s'il n'esi (|ue du troisième degré. Soit

R- = A ( .r — «''(•!■ — P) [-^ — V ) 7 en posant, comme prc'cédcmnietit,

a -\~ bj

on aura

fb — a)df

VA(i + r)[« — c>L -f- {b — o^)r][a— fi -h [b — (;i)f][a —y -h { b — '/) )]

et l'on assujettira les deux constantes a et b à vérifier les deuxrelations

a — y. -i- b — '/ rz: o,

ab — a (fi -+-•/) — ^7.

La condition (a — [tj) [y. — y) ^o étant remplie, on trouvera pour les constantes des valeurs réelles.

Lorsque le polynôme est du troisième degré, on opère plus rapidement la transformation en posant x =^ y. -\- y", a dé>i' gnant une racine réelle.

Nous admettrons donc que, dans 1 inlégrale

, , dx

le polynôme R' ne renferme ({ue des puissances paires, Ou

I()4 Ll\ RK 1\ .

peut supposer aussi (jiie la tbncliou ralionuelli' F (x) iic rouferme elle-même que des puissanees paircîs- car si Fou met celte fonction sous la forme

P-t-Qo- p2 Q^r^

= F,(,r^) + ,rF,(a:'),

M, N, P, Q tiésignant des polynômes pairs, F^ et F5 des fonctions rationnelles, on a

On obtient aisément la seconde iîitégrale en posant x' = y-, il reste donc à étudier l'intégrale

dans laquelle R désigne la lacine carrée d un polynôme pair à coefficients réels,

R = y/A (1 -1- mx'') ( ! 4- ni'.c') .