OT

i^*" Cas. \ =^ à\ nL = lr.^ ni' = h'''^ h'^h'. x pouvant varier de o à oo , ou posera

d'où

4' (fi^- A= — rt% m= — /i-, //// = A'^. ,x variant de y

à co , on posera

d'où

dx d '/.

s*" Ca.v. A = — a', m = — /r, m' = — /i'-, A ^ /«'. .r va-

nant de 7 '* t7' "^^i^ posera

d où

Nous laissons de côté le cas où le radical serait toujours imaginaire. Dans toutes ces transformations, le module est rëel, et

196 LIVKi: IV,

moindie qiio 1 uniU'. L Intégrale

FW^

est ainsi lameiiée à la forme

Al représentant, comme à I ordinaire, le radical

Cette intégrale est celle dont nous nous sommes occuj commencement de ce chapitre; car si Ion pose

~ = dz,

}. désignera la fonction ellipticjue À (^, A), et Ion aura

167. Il résulte de ce (pie nous avons dit aux n"* 1{)3 et 16i, (pie toutes les intégrales de la forme

dépendent des trois intégrales

r iLr Ç .r^ dx i ' dx

I Ix I iSx I (r — fix-) \x

(Vest en cliejcha?it à i«^duire l'intégrale

/[x,R)dx

à ses éléments les plus simples (pie Legendre a été conduit aux trois transcendantes dont nous venons de parler. Pour lui, a: était la variable indépendante, cl la valeur de l'intégrale la fonction. 11 a abordé ainsi, par les fonctions inverses, la théorie des fonctions doublement péricdicpies. Aussi la double périodicité, qui est le caractère fondamental de c( s fonctions, lui avaitelle échappé complètement.

nKS Ot \nR\TLUES KLLIPTIQTJES. I97

T. a prciiiiéic; ir.iMsccntlaiilc osl l'inverse de ce r|ue nous ^jppelonsla fonction elliptique /. ^ si x = l{z)^ elle auia pour %aleur la quantité z que l'on pourra augmenter de multiples des périodes w, w', suivant le chemin suivi dans l'intégration. Ayant adopté un signe pour désigner une fonction directe , il convient de le modifiei- de manière à représenter la fonction inverse. INous ferons précéder le signe de la fonction directe <le la lettre I, initiale du mol inverse. Ainsi nous écrirons

D'apiès cela, on a

La seconde îransccndante a été «alcidée au n'' 1(>1: ou a trouvé