II

un

Ce sont là, à proprement parler, les trois tonetions elliptiques de Legendre. Il représentait la première par le symbole F((jj,A), la seconde par £(9, A), la troisième par n ( cp , A , « ) .

On a donné à ces intégrales le nom de jonctions elliptiques , parce que la seconde donne la longueur d'un arc d'ellipse. Soit en effet l'ellipse ayant pour équation .r- )'

on peut poser

,r = a sin tp , > = è cos ^ ,

et la longueui- de l'arc d'ellipse, compté à partir du sommet du petit axe, a pour expression

s z= a I V I — <?' sin' 'p <^(p ,

e désignant l'excentricité de l'ellip^^e. L'angle (p a une signification géométrique très-simple; si, sur le grand axe, comme diamètre, on décrit un cercle, que de rextrémitéde l'arc on abaisse une perpendiculaire sur le gran'd axe, et que Ton prolonge cette ordonnée jusqu'à la rencontre du cercle, le rayon qui va du centre à ce point du ( ercle fait avec le petit axe langle (^.

LIVHK V.

TRANSFORMATION DKS FOiNCTIOKS RLUPTIQUIiS.