ADDITION DES FONCTIONS ELLIPTIQIES
à un latlcur constant près ; on a donc
Pour détcrniiiicr la constant^^- A, on prendra la dérivée, puis on fera z = o, ce fjni donne 2?/(/) = A. Il en résulte
Si dans cette équation on poniute les lettres z et /. il Nient
En additionnant ces deux é([uati()ns, on obtient la formule suivante
k'r-iz)i-'it]
qui est connue sous le nom de 7 héorètne de l'addilion fies fonctions eUiptiques. La démonstration que nous en a\ons donnée est due à M. Liouville.
t()9. Le même ino(ic de raisonnement permet de trouver rexpression deu(z-|-/) et celle de v[z-\-t). La fonction impaire
u. (zH-/j— u.[z~ t),
dont les périodes son! o) et o/ h admet les infinis de chacune des deux fonctions u.[z + l) et y. (z — .'), et par conséquent les infinis des deux fonctions \{^z-\-t) et l[z — t) , comme précédemment. Pour annuler cette fonction, cest-àdire pour rendre u. [z + t) égale à u.[z — / ), il faut que
z -\- t =^±[z — t) -\- nu.i -{- Il \m h U
doiï
cctle formule se décompose en deux
siiivaiil que Fou attribue à // des valeurs paires ou impaires; la première comprend les zéros de A (2) , la seconde ceux de v(z). Ainsi les zéros delà fonction proposée sont ceux delà fonction
On a donc
■j.{z-+ t) -^>^z — t) riz ^ ^ ^
Kn prenant la dérivée et faisant 2 = 0, on trouve
3pt'(r) ~ — A, il en lésùlte
3) a Iz -^ t) — !j.(z t] =1 r \ I r \
La fonction paire
admet encore les mêmes infinis fpie la précédente. Cette fonction s'annulera si
a[z-\- t) = — 'J.[z — t}zz= a \^--\- z— t]-, ce qui exige que
d'où
cette formule se décompose en deux,
= {9. fil' -4- 1) -^ + r/w',
= m' — h 2 /? •+• II — ?
ADDITION DES FONCirOKS ELLIPTXQIES. 2o3
suivant que n csi pair ou inipaii. La première comprend les y.évos de (J-{z), Ja seconde les inlinis de )-(^). On a donc
En faisant z =o, on Ikminc ay(/) = l^- Ainsi
lal z) a{t]
et, par suite,
170. On obtiendra v (z + ^) de la même manièie. La foiu lion impaire
dont les périodes sont - et iw'. admet les infinis de À {z -+- t) et ceux de 1 [z — t)-^ elle s'atiiudc ([uand
c'est-à-dire ([uand
ou
cette lormule se décompose en deux,
z =z ni \- /i w ,
suivant que ui est pair ou impair; la première conqirend les zéros de À (c) , la seconde ceux de w. (^). Ainsi la fonction proposée admet les mêmes zéros (pu- la fonction
Ori a donc
En preiiaiu la dérivée et l'aisaul z = o, on irouvc d'où
La lonclion paire
s'annule quand
c'est-à-dire ([uand
z~r~ ( =:±[o) 4- z — ; j 4- //.' [- 2fi(,^ ,
celle formule se décompose en deux,
z=zni — h 2 /' + 1 — 5
z = ( 2 m' 4-i)-^-f-(2«-Hi)— 5
suivant que /^t est pair ou impair : la première eompiend les infinis de X (z), la seconde les zéros d(; v (s). On a donc
Av(z) -J'^Z-^t) + v(ï — /j =
1— /-a^(z)V(/) En l'aisanl r; =; o, on Irouvc; 2 v (/) = A ; doù
i-Az]-j\t)
i-/^^vrz)v(^:
et, par suite ,
(III) , v(z + /)
i-/n'(zu^(0
ADniTION DES FONCTIO.NS KLl.II'TI QUES . 20J
