IV) „(,-^,,____

Ou eu déduit eiuore la formule

à laquelle on arrive par la considération d'un triangle spliérique.

On a aussi

y.{z)V{t)-\ie)y{z)

et, par suite,

, PV{z)l'{t)

Addition des qtindralures elliptiques de seconde espèce.

172. A la transcendante E de Legendre (n° 167). nous substituerons, avec Abel et Jacobi . la fonction nionodromc impaire

•]>(')= r v{z\dz,

avec laquelle elle a une relation très-simple et nous la désignerons par 4' (2J)• J/équation

i — /i-'V[z)V{t} dans laquelle on met le développement àe\[z -{- t) , devient

[\{z)l'{t)-^;{tyK'{z)]l[z-t) = \-'{z)-',^{t); si l on remplace z par s + /, (!t que Ion permute ensuite les lettres z et f, on a

[^z + t)y[z)-^r'k[zy>:{z-^t)\l[t) = ,.\z + t)-V{z). Le premier membre étant une (lifférenliclle esaote par rap-

port à 2, ou trouve eu iulégranl

Puisque

r-{z-ht)dz= \'{z)(h= i r-{z)dz— j V[z)<lz,

J t Jo t/0

on obtient l'équation

(V) ■]^{z-^t)r=-^z)+^b{t)-^l{zyk[t)l{z-^rt),

de laquelle on déduit facilement celle qui a été donnée par Legendre pour l'addition des fonctions de seconde espèce.

173. Ou peut déduire cette formule de l'expression de la fonction ■i>'(z) à l'aide de la fonction 0. On a (n" 161)

r \ , , ^ I r .„ , V ■ '•^1<»JJ5, (z)l

(.ol +W = ^:,[.9",(o)--^'J,

et, de même,

d'où

r/z Puisque (n" 143)

celte équation devient

On en déduit, en permutant les lettres z et t,

^.):-iz)i{t}i'{t)

pv{t)v{zy

ADDITION DES 1- ONCTIONS K LI.Il'TïQtES. aOJ

Cl , [)ar suite,

Addition des (nuidialuics v.Uipn(\ncs de troisièinc. espèce^

174. Jacobi a subslituc' à la iraiiscoïKlanlc de iroisièiuc espèce de Legendre la foncliun impaire

(Iz ,

(ju'il lepiéseiUe [)ar le symbole II (2,2), la variable z étant Vari^nii/ient, la eoiistanle y. \e paramètre. Cette fonction s'exprime aussi à l'aide de la fonction ("); on a (n" 1()'2)

(n) n:.,«^ = /ii^i^^4-' lo,''(^-='-^

dx 2 " &, (z ^- a)

On a de mémo

n ^ a = r 5- ^ H- - loi: -!4 ^

</a 2 '^ Çl, (z-H? 4- a;

et , par suite .

i. U [z '-\- t, a.) — n (z, ai — II /, a

' ~ 2 ""' 9, (f — a)ô, (z — a)9, (z + r-ha) '

L'expression

0,(/-i-aj 6, (z -f- ai €i,(z 4- /— a)

9,1'?— a) 9, (z -^ a) 0,fz -h / +- a.

dans laquelle nous regardons z comme la variable et ([ue nous désignons par F (z), est une fonction monodr&me doublement

périodique, aux périodes - et 'ù\ comme on le reconnaît aisé-

ment d'après les propriétés de la fonction ©. En général, la

fonction

^•^(z+ y.)e(z-4- fi) C-)(z-f-a') 0(34- 8')

2o8 LIVRE V.

atliiictlra la socomle période w' si la condiûon a + -3 = a' -h |S' est vérifiée; ce qui a lieu dans le cas actuel. La lonttiou du second ordre F ( z) admet les deux zéros

et les deux infinis

z =Z — t — Ci -i

et se réduit à l'unité pour z = o.

On remarqvie que les infinis ne diffèrent des zéros que par le signe de a.

175. On peut exprimer de plusieurs manières cette fonction F(^) au moyen tle la fonction /.. Considérons la fonction doublement périodique du second ordre

aux périodes -? o)', aux deux infinis z = —■> z ■= 5. dont

la somme est égale à oi' — (3. Pour exprimer la fonction F (z) au moyen de la fonction J' (s), on posera

et l'on déterminera les constantes par les relations

— t -h Ci -\- [- n = m' -

de manière que les deux zéros de F ( z ) annulent le numérateur, et les deux infinis le dénominateui (n" 74). Ces quatre rela-

ADDITION DES rONCTIONS KL I.II'TIQLES. 209

lions se réduisent à trois, el donnent

et Ton a

La valeur de p est arbitraire. Si l'on fait en ])arli( iilici ^ = ? , on a

170. On arrive à une expression plus simple en eniplovani les deux fonctions du second ordre

/(z) = ).(Z)A (z-h/ + a), /,.z) = \{z)i{z -ht — a),

qui admettent, la première les deux infinis

dont la somme est — t — a + w', la seconde les deux infinis

Z=r— , zz= — t -\- Ci -\ >

dont la somme est — t -r- y.-\- co' . Considérons la fiariion ^/(^)-/('7).

iaiO LIVRE V,

Il ''^ , ^^ 1

les valeurs 5 = — t-\-y.-\ ■, z z=. — / — a -\ , rendant

infinis, la première le dénominalenr, la seconde le numérateur, la fiaction admet déjà im zéro et un infini de F (2). La

valeur 2 = — 1 qui rend infinis à la fois le numérateur et le 2 ^

dénominateur, n'est ni un zéro ni un infini de la fraction.

Nous pouvons disposer des ( onstantes q et q' de manière que les

valeurs z ■= — a H •> z = aH ■> annulent, la première ]<•

numérateur, la seconde le dénominateur; nous poserons pour

cela . ; .

Le second zéro du numérateur et celui du dénominateur étant

égaux tous deux à — t-\ 1 ne rendent la fiaction ni mille ni

infinie. On a donc

et, par suite.

ri (z -f- t,y.)— 11(3, a) — n[t,a.)

(VI) — - 1 .' ' +><-^A(a)>(z)>^(0/(z + ^ + a)

[~ 2 °^' I - kh{<^)\{z)\{t)\{7+^t'^^)

C'est la formule trouvée par Legendre.

177. On obtient encore une autre expression de la manière suivante. De ré(juation (12) on déduit, en cliangeant le signe de f ,

n(z — ^k) — Il(z, a) + Uit, a.) — A I „ r, Q|(^ — «)9, (z+ g) 0^( z — tj-^ a ) ~2 =^0,(/ -H k)0,(z — TJoTjV^'M^a)'

d'où

ADDITIOIS DKS lOWCTlONS T-.I.l.Il'TIQUES.

n ( z -f- ^) -4- n (z — 0 — 2 n (z) — il ,.Q',(g + °^)Qi(" — '^ + 0^iiz — g — 0

= iioy ôMo^M^-^;

2 ''9,(z + a^-?)9, (z -ha — ?)■

et, en vertu de la relation (24) du n" 143 dans laquelle on

place z par z — y. ou par s -h a ,

On en déduit, en permutant les lettres z et f, d'où

Il en résulte celte troisième expression de la fonction F (z),

178. Nous nous sommes occupés de 1 addition de l'argument dans les fonctions de troisième espèce 5 on obtient des formules analogues pour l'addition du paramètre.

Voyons d'abord ce que devient la fonction quand on permute l'argument et le paraïuètre. L'équation (11), en vertu de la formule (10), peut être mise sous la forme

(17] n(z, a) = az9': (o) - /,-^z^{oc) -t- i log ^| |^ ~ ^|.

On a de même

n (a, z) = az9'; (o) - ^^ a-H ^) + ^ log ^ijî^J i

■J:12 LIVUE Y.

iCoù

(18) Il (z, u\ — n(a, z] — /-'[a-l/(z) — z^ [ol)].

On en déduit

n (z, a 4- ^) — n (a -t- p, z) = /^ [ (a H- (5) -^ (s) - z ^n^ + ?) I» et, en vertu des équations (\ ) et ("S ï) ,