CHAPITRE n

AIVLTIPLrcATIOîV.

Calcul fie proche en proche.

179. Nous avons donné, n" 168, la formule par laquelle ou exprime X(z-f-^) en fonction de ^(z) et de ^(^); à l'aide de cette formule, on peut calculer successivement /(as), / (3z), ... ; ou trouve ainsi

/i;.;.'[i— 2(i+A');.--h5A^;'— jA^;.^-f-.A-(i-.-A-);"'— A-^;.'-]

>( ''|2)— ,ooA-;''-i-32A'(i-HA-);,''— A-[iG(i-l-A%-H-26A-];'-h32A^(i-(-A');,"'— 2oA'>/'=-(-A'/'

On voit aisément que l'oji obtient la valeur de X [nz) en multipliant une fraction rationnelle de ^^(s) par ?> (2) si « est impair, et par À(z) //(^) si n est pair. Mais, si Ion veut continuer ce calcul de proche en proche , la méthode précédente doit être modifiée, afin que les deux termes de la fraction par laquelle s'exprime /. {nz) n'aient pas de facteurs communs. ^ oici la marche indiquée par Abcl.

MULTITLICÂTÏON. 11^

ttSO. SI, «laiis l.i (oiniulc (n" 171)

on fait

il =: {m + i ) z , h = rnz, il \iciil

A^ ( /« -f- i) 2 — A- ( rnz )

On a, craulre pari ,

2 A imz) )/ {mz)

l'iC sont les deux formules que nous allons employer. Posons, en général ,

Q,„ étant un polynôme entier en >*■ (2), P»< i^^i autre polynôme entier si tu est impair, et le produit d'un polynôme entier par /' [z) si m est pair; nous supposons dans tous les eas les deux polynômes premiers entre eux , et comme d ailleurs les zéros de

/'(z) ne rendent pas infini À (mz), la fraction ~ sera encore

irréductible dans le cas où m est pair. L'équation (2) donne

P^,, ^ 1 P.. Q.. sJW^— P,n) (Q,n - /^-^ ^ 2P,.Q„.R„,

en désignant par R,„ le radical v^(Q,', — P,',) (Q', — A" P,;). Les deux fonctions , P„, Q„; R,„ , Q,'„ — Ir P,', , ne pouvant s'annuler simultanément , on a

^ ^ i Q,,„ = Qi-/-p;„.

L'équation (1) donne

P..«,+. j pLm Qm — p;;. Q»-i-.

2 14 LIMIE V.

Les polynômes, P;;,^,Q:, -P;;, Q;;,^, , Q™-,.Q;,-A^P:,^.P:;,, sont premiers entre eux. Supposons, en effet, qu ils deviennent nuls pour une même valeur de / (z) •, cette valeur, ne pouvant annuler aucune des quantités P,„, Q,„, P,,,^.), Q,n+i^ satisferait aux équations

y- [rn -+- \) z = A- ( niz ) , ).^ (w -+- i ) z .- >.- ( niz i = — ;

d'où

>.' ( w + 1 ) 3 = /- 1 mz ) = rh y •

D autre part , on a

A ( /)i -{- i) z y ( mz )-!->.( mz) X' ( /// -+- i ) ^

hi-xm -\- I ) s r= — ^ '- — ^ — ^ ^ —

^ • I — ^■'-V{mz)V{m -f- ils

>.-(/?? -h i) z — 'i}[mz'')

'/. (/«-+- I ) z V ( niz ) — A mz y {m -+- i ) z

ou devrait donc avoir pour cette valeur de À [z^)-,

A (/« -H i)zy [mz) H- >. [mz)V {m-\-i)z^= o, A (w -)- 1 1z a'(/?/z) — )> («iz) X'frn H- i) Z = o;