OÙ

À ( w + I ) z . a' ( mz) = o ,

c'est-à-dire

'y [m H- / ) z [ I — ')} ( /«z)] [ I — h- y ( wz i] r= o , résultat incompatible avec la condition trouvée précédemment

A- ( «/ Z ) =:=; >.-(/« H- I ) Z = ih -r •

On aura donc

Si l'on part des valeurs Pj = / (z), Qi = i, les formules (3) donneront Pa, Q,, puis les formules (4) P3, Q35 les formules (3) donneront ensuite P4, Qv, puis les formules (4) P5, Q:,, et ainsi de suite indéfiniment. On voit que P^', est un polynôme du degré Olti} ou du degré in^ — 2, suivant (pu' n est impair

AU I/mU-ICMIO-N. 2 1.)

ou pair^ coninic clans le dernier cas il a pour la( leui le polynôme du quatiième degré //- (2). il en réudle que P„ est un polynôme du degré n^- si ?i est impair, et le produit de y' [z) par un polynôme du degré n'^ — 3 si n est pair. Q„ est uu polynôme du degré //' ou «' — i , suivant (jue n est pair ou impair. Nous observerons encore que Q, et Qj ne contenant pas de terme du second degré, il en sera de même deQj, Q,.

Calcul direct de l{nz).

181 . Un peul se proposeï' de déterminer directement À («zj, sans calculer X (az), X (3^), . . . .

Supposons d'abord // impair. La fonction 'k[fiz) est une Fig. 3i). lonctionellipti({ue(]ui a pom-

pé

, 'JJ OJ . . .

noae.s -. — . ses intiiiissont n n

— 1 1 ; ses zéros o ,

in ■?. n in ■?.n

Soit OACB [fig. 3o) le parallélogrammeélémentaire delà fonction X{z) ; divisons chacun des côtés OA, OB en n parties égales. Oa, cZ», sera \c parallélogramme élémentaire de la fonction 1 [tiz] \ le premier contient n- fois le second , il renferme 2/r infinis de la fonction / (nz)

et 2/^' zéros ,

p tji-\- q ',)

p M -\- Cj fji

fj M ~^q w

chacun des nombres entieis p, q recevant les n valeurs o, i, r> , ... , n — I . Les sommets des parallélogrammes de la fonciiou l{nz) correspondent aux zéros a. pour avoir les zéros a

il suffit de déplacer le réseau de la quantité — ; de même pour

2i6 LnuE V.

avoir les iiifiiiis a, il siiltit de déplacer le réseau de la quantité — ; un second déplacement — donnera les infinis oc'. in 0. n

On peut grouper chacun des infinis a avec un infini a' de manière que leur somme soit équivalente à - ; l'iin des gjoupes

est — ? ''- -• Soit L le produit de tous les facteurs binômes