M«,)][M2)-M«O]---[MO-M
qui correspondent aux infinis a, — excepté ^ ce polynôme admet comme zéros tous les munis a et a , excepte — et
De même on peut groiq^cr chacun des zéros a avec un zéio <^//de manière queleur somme soit équivalente à -; l'ini des groupes
est o , -• Désignons par M le produit des facteurs binômes
{\{z)-\[a,)][\{z)-\[a,)],.. [l[z)~\[a,,,)], qui correspondent aux zéros a , o excepté; ce polynôme admet comme zéros tous les zéros a et a ^ excepte o et -•
Les tonctions / ( /? s) , — -^ — ont toutes deux pour périodes
0), w'; la seconde ayant pour infinis simples —> , puisque le degré du numérateur surpasse d'une unité celui du dénominateur, les infinis et les zéros sont les mêmes dans chaque parallélogramme , donc le rapport des fonctions est constant et l'on a
(5) l{„z)=.Cl{z)~.
On recoiniaît facilement que les polynômes entiers M et L,
qui sont du degré jr — i, ne renferment c[ue des puissances
f paires de X ( z), puisque les infinis de la suite a, — excepté, et
Ml LÏIPLIOATION. 7. l J
les zéros do la suiic a, o cxteplé, se réunissent par couples ayant pour somme w.
182. Considérons maintenanl le cas où n est pair. On ])eut réunir deux à deux les infinis a. pai- couples avant la somme
- » et de même les infinis y.' ; aucun de ces infinis n est éiial à
ceux de À (z). Appelons L 1(; produit des rr facteurs binômes
[l{z)-l{.^)\[liz)-l{.,)]...[l{z)-l(..,,)],
les nombres aj, a^, . . . a„i, étant pris un dans chaque couple. La suite a ou la suite «', suivant (jue n est de la forme 4"'
1 1 r / / Il w , w w .
ou delatorme 4/i -j- 2, comprend les termes± -7? ± -7 H »'ii'i
sont les zéros de a' [z), les autres termesde chacune de ces suites se groupent comme les inunis ; 1 un des groupes est —■> 5
un autre o , — Désignons par A le produit des ir — 4 fréteurs
[l{z)-\{a,)][liz)-\{a,)]... [l{z;-\[n,r-^]]
dont chacun correspond à l'un des couples formés , excepté les
(juatre précédents.
N Les fonctions ?. [nz) ^ - ^{2) //(s), aux périodes 03 et o)',
ont , dans chaque grand parallélogramme , les mêmes zéros et
les mêmes infinis ; car - l{z)l' [z) devient nulle pour z= —
et pour z= Un a donc
(6) \{nz)=C^\iz)','{z). ■
On reconnaît, comme dans le cas de u impair, (|ue les deux polynômes N et L , le premier du degré rr — 4 ■> 1*^ second du degré n'^, ne renferment c[ue des puissances p,aires de), {z).
Calcul (les coefficients.
183. Soil en premier lieu // iinpaii . désignons / (/? ") pari',
2l8 LIVRE V. .
À (5) par u , vl posons
Si 1 on fait z très-petit, le rapport- tend vers n^ donc a^ = n. Remplaçons z par h z\ il vient
(-/ se c hanse en — - et v en — : d ou ku kv
I- identification de cette valeur avec la précédente donne les relations
bni-x ■ <7„î,
qui se réduisent à
li' — 1
;i- — I fi' — I n- — I n- — i
ç,fi~\'=^nh '■' , k- h„t-.7, = (izk - , k'h„'..,:=ai k '■ , .. ., A"~'' /'2=<7„=.; -? ^
îSous avons démontré (n° 180) que Ton a /j, = o 5 la relation ^"«„-3 = ^2 «n--i donne «„2 3 = 0.
11 ne reste plus rà déterminer que les ([uantités a, ,
«V, • • • , «„î 3 et le signe de rt„;i. Pour y parvenir, on peut, par exemple, développer p», ^^ et ses puissances, suivant les puissances asccndajitcs de la variable z et égaler les coeflicicntsdes
MUI.TirLICATH)^ . ?. I 9
niènics puissances ilc la variable dans les tleiix lonelions
i>[i -^b. Il' -\- b, a* -{- . . . ], n\n -+- a-i «^-|- o^u" + . • . ] ;
on obliendra ainsi autant d'équaiions du premier degré (|ii on le voudra entre les coefficients incoinius.
L'idenlifiralion des deux expressions de 7 [n^) montre que les deux fondions tp et ^ satisfont aux relations suivantes ;
J8i. Soit en second lieu n pair. Posons
J.e coefficient «0 est encore égal à n. Si Ion remplace z par
fjj' , 1 , ,. .
~ -\~ z , /< se clianffc en -— » v ne cliance pas, et Ion voit,
d'après la relation
qu il faut remplacer
v/(i — «')(i — ^-«-i par — T~,V(' — "')(' — t»'' II') . L'identification des deux expressions de r donne les relations
/•--j =—", f>' -, =~(l.,..., fi"- ■ :zz — cl„,,,
bni b„, br,'.
b,.'. h,,-. b,,'. bn-i
d'où ^„s-2 = o, b,i! = X- ' , rt'„i/ =3 o.
En substitnant cette valeur de h,, dans les relations préiédentes, on obtient les rapports de deux coefficients cquidis-
