X + ri-|-> -H h- ia+...-f- A -H |-(«i) 3a

\n ni' \n n n r \n n " ' n ' '

La fonction F a pour périodes w et o)'; car si Ton auginenlc ^ de w, et que l'on multiplie chacun des termes de la parenthèse par a, ce cjui revient à multiplier la puissance n'"'^" par a" on par l'unité, les termes d'une même ligue horizontale se permutent circulairement; si l'on augmente z de w', et si l'on multiplie par [3 , la permutation circulaire s'opère entre les termes d'une colonne verticale. La fonction F(c,a,jS) peut donc s'exprimer rationnellement au moyen de ^ (s) et

lie sa déiivée, et I un a

L, M, N étant des fonctions entières de X [z).

Chaque couple a , jS de racines de Téquation binôme fournira une équation analogue à la précédente. Si Ton ajoute membre à membre, en groupant ensemble les termes dans lesquels p ^^ (j ont les mômes valeurs , on voit que le multiplicateur de chaque groupe est nul , à l'exception de celui du premier groupe qui se réduit à «". On aura donc pour X ( - j une expression de la forme suivante :

I yM, + N,v(=) ■•/

M,-|-NjV(z)

Le premier radical, celui qui correspond à la combinaison a=z^=i I, en vertu de la relation (2), a pour valeur n'h{z).

189. On peut calculer les polynômes Ls, Ma, N2, L3 ,..., de la manière suivante.

Développons cliacun des termes de la somme

d'après la formule qui donne X(z-|-/), celte somme prend la forme

R et S désignant des fractions rationnelles composées d'une manière bien déterminée avec À f - j , ^ ( "^ ) ' ^ i ~ ) '^^ ^^^ deux racines a, ^ de l'équation binôme. La puissance n"""' de cette quantité est également connue cl de même forme: nous

HlVrSlON. '22'^

la désignerons par

Imaginons actuellement tjiie l'on calcule la fonction

cette foru'liou admet, comme la première, les périodes w, w', et l'on voit facilement (ju'elle s'exprime ainsi :

Puisque les deux fonctions F et F, restent invariables quand on augmente z de w ou de o/, il en est de même de leur somme et de leur pioduit

Ces deux ?iouvelles fonctions étant des fractions rationnelles

de M-) qui '"' doivent pas changer quand on remplace

X ( - I par l'une quelconcpie des racines de l'équation (i ), on

peut les exprimer par des fonctions symétriques des racines de

cette équation, et, par suite, en fonction rationnelle de / (2).

Il résulte de ce qui précède, que l'on peut exprimer algà-

hriqnciiiejit '/A-\ en fonction de t. (r), des racines n""""" de r unité, de ?• ( - ) d »!<' ^- ( "" ) •