La formule par laquelle nous avons exprimé

renferme iv — i radicaux d'indice n. Si 1 on combinait leurs valeurs de toutes les manières possibles, le nombre des combinaisons surpasserait le nombre des valeurs de l'inconnue 5 il v a donc un choix à faire parmi ces diverses combinaisons. Nous allons exposer une solution plus simple du problème de la division qui ne présente pas cet inconvénient.

Posons

puis

a étant une des racines de réquatioii binôme x" — i = o. La fonction ■^ [-•, y.\ admet pour périodes 'j) et w': car lorsque z

augmente de oi, tp (- j ne change pas, et, si Ton augmente z

de oV, en multipliant en même temps les termes de la parentlièse par a, les termes se permutent circulairemenl. La fonction à[-i a} peut donc s'exprimer rationnellement à l'aide de \ (z) et de sa dérivée. Soit

, A + BX'(z)

A, B, c étant des polynômes entiers eji ^> (z), que Ton calculera ainsi qu'il a été explicjué au numéi'o précédent pour

F(z, or, 3). On a donc

Si y. désigne une racine primitive de l'équation binôme X" — I = o, les n racines seront représentées par

chacune d'elles donnera une équation analogue à la précédente; si Ton ajoute ces équations mini'oïc à membre, les termes de

IJINI.SIOM. y. 27

»lia(jiu: tulonnc \eilitale, à 1 cxccplioii de la picinicii'. ayanl une soniine égale à zéro, il vieiil

Eli vertu de la relation (2), le premier radical a pour valeur nl{z).

l.e produit

<p ( - ) -h «» ( - 4- — ) + a= '^f - -i- •>. — ) + . . \ // ' ' \u II j ' \ n n j

(z\ iz w'\ /z w'\

- H- a/' o - + — H- aV <p - + 2 - H-... nj \n n ' \n n /

ne eharige pas quand z augmente de 0/; ceci revient à diviser le premier facteur par &."~^ et le second par a''; ce produit a aussi pour période o) ; on peut donc l'exprimer en fonction lalionnelle de ^(z) et de sa dérivée ; nous le représenterons par

Il en résulte

Yp + Çspl' {z) H,

On calcule les polynômes entiers F^, G^, H^, de la même

manière que les polynômes A, B , C Quand on aura substitué

à la place des divers radicaux leurs valeurs en fonction de

r/A,-hB.V(3) ^ p^,^p^,gg3-Qj^ ,1^. .^ i îj n'aura plus que Ji ^ a-

leurs distinctes, ainsi (}ue cela doit être.

LfVRE V.

191. La f'onctioiï çp ( - j élaiil clélerminée. on cïierclie ( - j . A cet effet, on pose

xl-'«) =

+ a A - -+- - 4- a- A - + 2 - 4n n I \n ii

a désignant toujonrs l'une des racines de l'équation binôme

X" — I =: o. Les fonctions X ( -^ « ) et ?( ~ ) ^y^"^ ^^*

mêmes périodes o) et nw', on peut exprimer la première an moyen de la seconde et de sa dérivée, et Ton aura

rt, h , c étant des polynômes entiers en cp ( - j •

Si l'on développe chacun des termes X (- -t-/»- \-> la valeur dey (" , y\ se présentera sons la lôrine

A, B, C étant des polynômes entiers en A ( - j- La valeur de

j^(-,a j ne change pas ((uand on remplace X ( - 1 par

li — \- p -^\-> c est-cà-dire lorsqu'on remplace M ~ ) pai' lune quelconque des ti racines de Téquaiion