DIVISION
tlans laquelle, après avoir développé chaque terme et remar- <|ué que ^'l - ) disparaît, on reij;arde ^' ( " ) comme Tinconnue.
I.o calcul de X [-■> x | en fonction de «p ( - ) s'eirecluera encore
de la même manière que celui de F [z, a, |S) en fonction de À (2) , en remplaçant l'équation (i) par ré(|ualion (6). On aura ainsi
si--
En opérant de la même manière pour chacune des racines a", a', a'-,..., a"~' de l'équation binôme, et ajoutant les résultats, on obtient la formule
Cliacuu des radicaux s'exprime par une puissante du premier; en effet, le produit
nul \ ri n
.idmeltant les deux périodes o) et ^io) comme la fonction y [-]: s'exprimera ralionnellement au moyeu de la fuiu tiou
cp ( - ) el de sa dérivée : nouslo i cpiésontcrons par ; ~
'\nj : r r /,^
On déduii de là
De celte manière, à chaque valeiir de(j3 1 - ) correspondront n valeurs de X ( - )i <'onime la fonction 9 ( - j a elle-même n valeurs, la fonction / ( - 1 am'^» "^ valeurs.
Voilà comment on procède quand le nombre n esl impair ; on peut même le supposer premier; car si Ton a n = n' n" ^ il
sera préférable d'expiimer d abord W -, ) au moyen de A (s), puis 1 1 ~ — - I au moyen de X i ^ | .
192. Considérons maintenant le cas où n est pair. Dans (c cas l'équation entre v et u renferme un radical du second det;ré (n'' 184)^ si on le fait disparaître, Téqualion sera du degré 2/i' et ne renfermera que des puissances paires de l'inconnue.
Supposons d'abord ti = 3. On a à résoudre 1 équation
I — A' n" ou
( I — /,- n'Y [i — V') ■=■ (1 — 2 II' 4- /■- «' )- ;
on en déduit
Les doubles valeurs des trois ladicaux donnent les huit valeurs (]c II qui ne dépcndcni que dr (|uantilés toutes coninics.
MLLTII'LICATIOIN 01 DIVISION DK LCKE DES PÉRIODES. 23 1
Le nombre pair n csl en général de la forme i'' . «', n' étant itnpair : après avoir exprimé M — ) îiu moyen de / ( z ) , comme nous 1 avons expliqué plus haut, on applicjueia /? fois siiccessivemenl la formule précédente, aliti d'olilenir / ( - )•
CllAlUTRE lY.
Ml LTIPLICVTIO^ Ol DIVISION DE l.'vNE DES PÉRIODES d'uNE lONCTION ELLIPTIQUE PAR UN NOMBRE ENTIER.
193. Le calcul de/, [nz) en fonction de / i^) revient à exprime)', au moyen de À (z), la fonction qui a pour périodes ellipti-
nues ~i — » c est-à-dire à diviseï" par n les deux périodes de la
lonction donnée. De même, le calcul de À I - ) eu fonction de
?> [z] revient à déterminer la fonction dont les périodes ellipticfues sont w o) , nw'. Au lieu de diviser ou de multiplier simultanément les deux périodes par le nombre n^ on peut se proposer d exprimer, h laide de À (z), la fonction qui aurait une période commune avec 'k[z), et pour autre période la période correspondante de À (z) divisée ou mviltipliée par n. En répétant deux fois de suite la même opération sur les deux périodes o) , f,)' de 'f- [z) on retrouvera, soit A(/iz), soit
Nous désignerons par A, le module de la fonction inconnue, et par ^^1 son paramètre, de sorte cjuc la fonction sera représentée par À (^1^, Al). Nous nous occuperons d abord de la division , en commençant par les cas les jdus simples.
J)i\'ision par deux.
lîM. Premier cas. Division de la première période. — l^c produit ? [z)l iz -\--,\ adm<i les jkm iodes -•> 'o', il s au-
nule pour z =. o et z = y, et devient iniiiii pour 2 = — et
z =tH i d'ailleurs le parallélogramme ( -5 w' ] ne renferme
pas d'autres zéros, ni d'autres infinis, que les précédents 5 on a donc
La constante A est donnée par la forjnule on a ensuite
Puisque
A^ rr
.8/ i4-y/i/2 il en résulte
Mê'.^,'^-0=TVT-M'^)
i95. Remarque. — La valeur de X ( 3 j, dont nous noui sommes servis, s obtient par la formule
On trouve ainsi lesquatre valeurs de X ( - ji en désignant parfîet
Q.' un système quelconque de périodes elliptiques de la fonction A (z) , c'est-à-dire en posant (n° 90)
ii = (4^ -f-i) w 4- 4^w',
MULTIPLICATION CM' PIVISIOIV DE LlNE PES TÉRIODES. 'i33
avec la condition
(4rt +i) {2d -h i, — iibc=z±i.
Ces quatre valeurs sont celles de
ir,).
elles sont deux à deux égales el désignes contraires-, la pieiuiètc; et la iroisième, ainsi que la seconde et la (jualiiènie, ont pour
produit j- he calcul précédent comprend la division par deux
de la première période fl de 1 nn quelconque des systèmes de périodes elliptiques.
196, Seconp cas. Dh'ision de la seconde période. — • Partageons en deux parties égales , par une parallèle à Fig. 3i. OA, le parallélogramme élémen-
taire OACB {fig. 3i) de la fonction / (-,/>) •, OACB' sera le parallélogramme élémentaire de la seconde fonction. A une valeur de A(z, A) correspondent, dans le parallélogramme OACB, deux valeurs de z, dont la sonnne est égale à - : pour ces deux valeurs
de z, la fonction \ [g^z , A, ) a une valeur unique. A une valeur de 1 [g^z ,li^) correspondent, dans le parallélogrammi; OACB, quatre valeurs de z , (|ue Ion peut réunii- par couples
Z, c et z-\ , - H :;.
Les valeurs de X(z,A), pour les valeuis de z d'un même couple, sont égales- de plus les deux valeurs difléreutes de
/ (z, A) ont pour produit -. De ce qui précède il résulte que la
lonction / (^'^, 3,A,) est une fonction rationnelle du second degré en / (- , A) ,
^»' ' '^ a'-hb'lit)-hc'V{z)
La coiislaiilc a est égale à zéro , puisque ).\^g^z,k^) s annule avee z. Poui' que le produit des valeurs de A (^ > ^ ) •l'^ii correspondent à une valeur quelconque de ). [g^ z ,hA ^ soit -■> il faut
pi
que Ion ait
]^a fonction /. (^, ",Ai) étant impaire, on a
(•(> rjui donne la formule
Si Ton fait il \ient d où
On a ensuite
\^kV{z)
k, I + ^-Vfz) ,. /03'
Pour obtenir la valeur constante du second membre de cette dernièie équation, on remplace z par -y-, ce qui donne
Mais de la relation
on déduit, en v laisant 2 = 7 y
Ml LTIPLICATION Oi: Dr\ ISIO^ DK L VJSE DES l'ÉlVIODES. 235
(.laillcuis
i z^z\ = ir-;-z
Par conséquent ,
II (Ml résulte
197. Si, après avoir divisé par .'. la premièie période w de la fouclion ?. (s, A), on divise encore par 2 la seconde période w' de la nouvelle fonction, la troisième fonction aura
])our j)ériodes -■, — et 1 on arri\era ainsi à / (2.^, h). On peut
\érifier aisément ce résultat. ,
Par la première transformation , on obtient
la seconde donne
i\[z)sl{\—Vz) (i — /-^Tz)
Dh'isïofi par lin noinhic inipaif qnclcoiujuc.
198. Premier cas. J^is'ision de l(i première période. — Soient fl cl II' deux périodes elliptiques queleonc[ues de la fonction proposée; le produit
admet les périodes -, îî' : caries fadeurs se niM-niutenl circulairement quand - augmente d«* - et chacun deux admet la
