La tlélernilnalion complète des fonctions inconnues ne

tlépend que de celle de X ( — j ou de / ( — ) ; ces quantités sont

deux des racines de l'équation que Ton obtient en égalant à zéio l'expression de \ ("-2) tni toncti(ui de / (-), équation du degré jv — ! , après la suppression du facteur X ( 2 ) . Nous allons chercher le nombre des fonctions différentes obtenues en divisant l'une des périodes par le nom])re impair n.

Nous ne regarderoiîs pas comme distinctes deux fonctions égales et de signes contraires, ni comme modules distincts deux modules égaux de signes contraires, ce qui nous permettra de remplacer les périodes w, w'de la fonction \ (z) par les dctix périodes H et fl' définies par les formules

£l — ( 2 a -1- 1 ) w -f- 4 /■» w', ii'= c«-) -l-r/w',

])Ourvu que 1 on ait

[in -\-\) d — f\hc =: db I ; et, dans la <|uestion actuelle, nous appliquei<»us à ces périotlcs la dénomination de péi iodes elliptiques. De celte manière on peut dire que les fonctions fournies par la division de la seconde période sont les mêmes que celles f[ui proviennent de la division de la premiè)-e période. En effet, les périodes ellipti-

(|ues 11, —, peuvent être remplacées par

il'

Mll.TU'LfCVTlON ()L IJIVIMUN Oi: 1. (jNL DES l'KIUODF.s. '2..U)

pourvu (|U<' l'ou ail

f 9. Z -f- I Uî — 4 S7 — it I •

Mais si Ton prend d ^^ n ^ ce <{ui est permis, ou oblieul les périodes

[(?. ccH- 1) (2« -j- i) « H- 4 P<^] f»' -h 4 [ (2 a -I- 1) ^« 4- ''/|'1''/J w'

<>', = [(2a -hi) 7-h c] w -|-(4è7 4- ^) w',

(jui l'ésulleiil de la division par // de la première période (Tun c(,'rtain ( ouple de périodes ellipti(jues de la fonction proposée. On verrait de même (|ue les périodes eJ]ipli(|ues —, D.'

})euvent ètie ramenées à la division par // de la seconde période.