Supposons maintenant que 1 on divise par n la première

période du couple fl, il'. Les périodes -, il', de la nou'. eiii"

foiK tion peuvent être remplacées par

il,= (oa-M)- +46<)',

n pourvu que Ton ait .

(?.a4-i)o — 4p7 = lt:i,

Remplaçons il et il' ]>ar leurs valeurs dans les expressions de n, et Cl\ , il vient

, [-/ (2« + i)-{-(î//c]oj + [7.4^ + Snd]ut'

Soit fi' le plus grand commun diviseur entre 2a -hi et n ; posons (2a -1-1)= {2a -{-i) n', n = n'n". Prenons -/ = — 7i."c\

24o LIVRE V.

ô = -j-a'-hi] la relation (9. a 4- i) J — 4^y= ± i devient

On choisira a et (3 de manière à vérifier cette relation. D'après cela les valeurs de lî, et de Q.\ prennent la forme

q étant un entier ([uelconque. Lorsque q augmente d'un multiple de /z", la fonction ne change pas: il suffira donc de donner à cette variable les valeurs o , 1,2,..., n" — i . D'ailleurs les n" fonctions ainsi obtenues sont ditîérentes entre elles 5 car il est impossible dtî ramener les périodes elliptiques de l'une à celles de l'autre.

Le même partage du nombre // donne encore // fonctions distinctes aux périodes

fonctions qui ditlerent des précédentes. Ainsi chaque partage en un produit de deux facteurs ii' 11" fournil //+ n" fonctions distinctes. Un second partage en deux facteurs tî^ ii\ donnera encore //, -t- n\ fonctions ditîérentes.

De ce qui précède il résulte que :

1". Sin est premier, le nombre tics Jonctions est n -f-i ;

1^. Si n est un nombre composé , le nombre, des fondions est égal à la somme N des diviseurs de n.

t202. Remarque. — Soient n et //deux nombres entiers impairs et premiers entre eux, les fonctions cpie l'on obtient en divisant la première période de ?> (z ) par n et la seconde par n' sont comprises dans celles que donne la division de la première période par le produit nn' . Si n et n' ont un plus grand commun diviseur d. et que l'on pose n = //, r/, n' = n\ tl , pour diviser les deux périodes respeilivenient par n cl //', on cher-

MTJl.TIPLIC\TIO\ OL DIVISION HT I. IMC DES l'I^U lODKS . 5/j I

<'hera d'abord/ [f/z^/>), puis on divisera par //,//, la pK.,-inièro période do colle fond ion.

^03. D'après ce que nous a\oiis dil au n" î)l, quand deux fonctions elliplicjues onl même module, les systèmes de périodes elliptiques se correspondent deux à deux de manière à présenter le même rapport. On voit aisément que les fonctions dont nous venons de parler ne jouissent pas de celte propriété et qu'elles ont, par conséquent, des modules différents. Ainsi le module ^, a autant de valeurs qu'il y a de fonctiop.s différentes. L'équation entre les modules k el^i jouit de diverses propriétés, parmi lesquelles nous indiquerons les suivantes, doîmées par Jacobi.

L'écjuation modulaire est symétrique par ra})port à A et Ai. En eflet, si, après avoir divisé par n la première période de la première fonction , on divise par n la seconde période de la deuxième fonction, on revient au module primitif; c'est-àdire que, si léquotion est vérifiée par Â' = a, A, = (5, elle doit l'être également par A = fi , A, = a.

204. f^a fonction elliptique, qui a le module complémentaire A' et pour paramètre l'unité, admet les périodes ellipli-

ïjiies — et — (n" 107); de même la fonction elliptique dont le

module est A', cl le paramètie ^, , admet les périodes elliptiques

— et — : c'est-à-dire que le module A', correspond à la divi-

sion par n de la seconde période de la première fonction. La lelalion entre A' et A', est la même que celle entre A et A, ; dotic l'équation modulaire ne change pas lorsqu'on v remplace A el Aj respectivement par Vi — f^' et \' i — A^.

La fonction À (As, - j a pour périodes elliptiques o) — 2 w' el œ'; la fon( lion 1 (g', A, z ,— j a pour périodes elliptiques le sys-

terne 2 w et o) nui est équivalent a et fo . L, equa-

iG

tioii modulaire ne doit pas cliangei quand on y remplace A par

LelA-.par^.

Lorsque le moduie A- est réel et moindre que Tunité, si Ton choisit les périodes elliptiques indiquées au n" 109, et si l'on prend leur rapport p, on voit que, quand on divise par n l'une ovi l'autre des deux périodes w , 0/ , le nouveau module est réel ; il diminue si l'on divise la première période, il augmente au rontiaire si l'on divise la seconde. Quand n est un nombre composé, si on le partage en deux facteurs //' et n" premiers entre eux, la division des périodes respectivement par les nombres ?i' et n" donne également une valeur réelle de A,.

Multiplication jjar mi nombre entier quelconque.

205, C'est l'opération inverse de la précédente. Si le multiplicateur est le noinbie 2, la fonction inconnue s'obtient par la résolution d'une équation bi-carrée (n" 19i), ou d'une équation du second degré (n" 196), suivant qu'il s'agit de la jjremière ou de la seconde période. Si le mulliplicateur est un nombre impair ?i , la fonction inconnue est racine d'une équation du degré n ( Ji'^ 198), Dans le premier cas le module A s'exprime en fonction de Ai par les formules des n°^ 194 et 196; dans le second cas, il dépend d'une équation dont le degré est la somme des diviseurs de ?7.

Lorsque n est impair, l'équation du degré n, qui donne la fonction inconnue, est résoluble algébiiquement. La simplification indiquée au n° 190, dans la recherche de X ( - , A j en

fonction de X(z, A), consiste à multiplier d'abord l'une des périodes par n , puis 1 autre.

Tr.ANSFORMATION DES FO.\rTIO.\S EI.l.IPTIQIKS. 'X^'^