CHAPITRE Y
TRANSFORMATION niS FOCTIONS ELI.IPTK^fES.
^(K). Le problème (|ue l'on se propose de résoudre est le suivant :
Trouver toutes les fonctions rationnelles j' de la variable x qui satisfont à léqualion difîérentielle
cly flx
La constante k est donnée : il faut déterminer les constantes g^ et /.j en même temps que la fonction y. Pour un couple de valeurs attribuées arbitrairement aux deux constantes g, , A", , Léqualion diilérentielle n'a pas, en général, de solution de l'espèce considérée , c'est-à-dire dans laquelle y s'exprime rationnellement en x.
Soit y^ la valeur de y qui correspond à jc = o ; concevons que Ion exprime les deux variables y et x en fonction d une variable auxiliaire z, en posant
dy dx
d'où
d.r i^J dv
= dz;
L \/fi — x-) (i — À-^A'=1 ../..
Désigîions ]>ar a l'une des valeurs de l'intégrale
on aura aussi
'"^ dy
et par suite
]1 est (railleurs évident que deux foueiions elliptiques a; cl ) , définies par les écjuatious (2 ), satisfont à l'équation (i) quelles (|ue soient les couslantes gi et Ai. La question revient doue à la suivante : Déterminer toutes les fonctions
(jui s'expriment rationnellement par une fonction elliptique donnée
207. Supposons que les valeurs des constantes g:,, A,, a soient telles que Ton ait
P et Q étant des fonctions entières de x. Désignons par w et 0/ un couple de périodes elliptiques de la fonction x ^ par Wj , o)\ un couple de périodes elliptiques de la fonction j^. Quand z augmente de w, x ne cliange pas, j^. ne doit pas changer non plus, ce qui exige que w soit égal à une somme de multiples deo), et o)\ ; le môme raisonnement s'applique à w'. Ainsi , il faut d'abord que l'on ait
1 &)' r= // W| -f- fj' w'j ;
ou
en désignant pour abréger par N le nombre entier
±:{pq' -fjp').
Lorsque les conditions (4) sont satisfaites, la fonction y s'expi'imc rationnellement au moyen de x et de sa dérivée , puisqu'elle admet les périodes œ et 0/. Il faut trouver la condition pour que la dérivée n'entre pas dans cette expression.
Le second membre de l'équation (3) ne change pas, lors-
THAIiSI OUMATIOIV DES lOKCTlOKS ELLirXIQLES. ^45
4)11011 remplace z par z, il faut donc (|ue Ton ait
= >.(§', ( -+ 2a — z — aj, /J,
cl, par conséquent,
OU, en tenant compte des relations (4),
La condition (6) est suffisante (n° 80) 5 elle exprime qu à niie même valeur dej" correspondent, dans chaque parallélogramme élémentaire, deux valeurs de z ayant une somme é(|uivalciile
Degré de la transformation.
208. Commençons par évaluer le degi^é de la fonction y par rapport à x.
Considérons d'abord le cas où ^ et ^ sont premiers entre eux; prenons deux nombres /' et s assujettis à la condition
ps — ^r =iti 1 .
La comparaison des relations -^
pq' — qp' = zt 1\ , ps — (jr = :+: i
donne
p' = m r -h pt ,
( étant un nombre entier.
Le parallélogramme défini par les formules
est un parallélogramme élémentaire de la fonction j aux périodes elliptiques Wj, co', 5 mais ces deux périodes nouvelles w,
Fig. 32.
0)" ne consliluetit pas eu général un syslèmo de périodes ellipntjnes de la foncliou j. Puisque
w' =^ Nfo" + ^w, w' — ?w = Nw'%
la fonction x aux périodes ellipti([ues w, w' admet aussi les périodes elliptiques
]^es deux parallélogrammes élémentaires (w, 0/') et (w, Noo'')
ont un côté commun w, le second côté du deuxième est égal à N fois le second côté du premier. A une même valeur de y correspondent deux valeurs de z dans chaque parallélogramme élémentaire et, par suite, 2N dans le grand parallélogramme. D'après la relation (6), à laquelle doit satisfaire la
( onstante a, la somme des deux valeurs de z étant équivalente
à -5 les points qui les représentent sont placés comme l'indique la figure, de telle sorte que les droites Oa, Cj Z>, soient égales et parallèles. Chacun des couples («, Z>„), (rt,, ^„i),...,
(a„i , bi) donne une somme égale à iS(à" -\ — 5 il en résulte
«[u'à une valeur de y correspondent seulement N valeurs de x, c'cst-à-diie que / est un fraction rationnelle en x du degré N.
!209. Si /> et <7 ne sont pas premiers entre eux, soit d leur j)lus grand commun diviseur, p^ et qi les quotients de p et q j)ar (L On cheiche, comme dans le cas précédent, deux entiers / cl s par la condition />, .s — r/, /= ± i, et l'on pose
;/=i\,/ [/,./, ,/ = N-,,v -\ >pe
TR.ANSFOKMATIO.\ DES ^O^C^IO.^S ICLLU'TKjl K.S. 247
La fonction y admet le parallélogramme élémentaire
c'I la l'onctiou x les périodes ellipliques
Tj , w = ^ I ri) -t- ^ — •
A une même valeur de j correspondent dans chaque paralléloi^ramme élémentaire deux valeurs de z ayant une somme équivalente à -• Si d est impair, cette somme est équivalente a
W . (i> 'xl cl I W --^ II
— 1 puisque - = i ,• Dans ce cas nous appellerons
ld *■ ^ 1 ld 1 0.d *^
.V la fonction aux périodes elliptiques -» Ni o/'. Le parallélogramme relatif à la fonction u contient 2ÎNi valeurs de z que l'on pourra grouper deux à deux, comme précédemment, de manière que chaque couple présente une somme égale à
— • -f-N.oj": d'où Ton conclut que y est une fonction raliounelle eu u du degré Nj . Mais la fonction ii peut être considérée comme ayant les périodes elliptiques - et Ni w" -|- t -,
c'est-à-dire- et o/-, on l'obtiendra en divisant par d la première période de la fonction x\ c'est donc une fonction rationnelle en X du degré d. Il en résulte que y est une fonction rationnelle en X du degré Ni d ou N.
bi d est pair, la somme - équivaut a zéro, puisque - = - -: y est donc une fonction paire en x. Appelons u une fonction paire admettant les périodes - •> IS^rW. Dans le parallélogramme relatif à «, à une même valeur de y correspondent 2 Ni valeurs de z que Ion groupe deux à deux de manière (|ue
chaque couple ait une somme égale à - -+• N, o)"-, on en conclu.t que y est une fonction rationnelle en n du degré N,. Mais
la foiicliou u peut èiro considérée comme ayant le parallélogramme élémentaire i -? 'J |: dans chacun d'eux, à une même valeur de u correspondent deux valeurs de z dont la somme est nulle: dans le parallélogramme (-!> w' 1 relatif à x^, se trouvent d valeurs de z ayant deux à deux une somme égale à — h co', donc u est une fonction rationnelle en x du degré -
et, par suite, y est une fonction paire en x du degré N. Ainsi, dans tous les cas, le riegrc de la fonction y par rapport à x est égal au dèternùnanl N = rh [pq' — «7/'')-
Transformation du premier degré.
Nous allons chercher d'abord toutes les transformations du premier degré; on les obtient en supposant le déterminant N égal à ± I . Il y a plusieurs cas à considérer.
210. Premier cas : p impair, q pair. — D'après la formule (7), on peut donner à a l'une des quatre valeurs
o, —5 — ) bi 1 on appelle y^ la lonction qui correspond à a = o, les diverses valeurs dey seront ij'i, 3i - — ; calculons la fonction y^j = A (^1 s, ^1). Les fonctions j^i et x ont les mêmes zéros et les mêmes infinis-, donc le rapportes! une constante A. Pour avoir la valeur de la constante A, dans la relation j)^, = Ax, faisons
c'est-à-dire
ou
j1 en résulte
, ou
K=.li,
TUAJVSFOUMA110> DES FOJVCTIOAS !■ LLU'TK^UES. 24^
On oblieut le module hi en faisant
011 trouve, lorsque A=i, ki = ky et lorsque A = A, />, = y On a ensuite soit ^^ = i, soit ^, = A. Les solulions de ee premier cas sont donc
(8) /•, = /-, ^-.z^i, r==±:.., r=±£' et
211. Second cas : p pair, q impair. — La valeur de a est de l'une des formes ±: -^ ± ~-\ appelons y^ la fonction qui
correspond à a = -7^ -(- -y-\ les diverses valeurs de r seront, 4 4
comme tout à l'heure, ±^1, ±
Soi t
