II

aSo LIVUE V. . • -■

et, par suite, • v

I ti n ,

/, /M k^ln m

Ces trois relations se réduisent à deux, et la première donne ' pour m la valeur déjà obtenue. Le premier membre s'annule pour

mais on a

-r ou

suivant que q' est pair ou impair 5 dans le ]>remier cas — = -7= et dans le second — =: -— • Supposons d'abord a' pair, on aura

I \ ->r- rsfh

Pour obtenir le module A,, nous ferons

d'où

Prenant les dérivées et faisant 2 = o, on a

/-, (1 -/■,) Jk

— // II/// =r. 2 — -=: -I

IKARSFOr.MATIOJN DES I-ONCTIOJNS KLLIl'TIQL ES. Uà l

d'où

Les l'ésullats correspondant au (;as où (f est impair se déduisent, des précédents par le eliangenient de A" eu — k. Ainsi les formules potJr le second cas sont

T,~ \i — fk

g', = - (i + \lTj\

(lOi y =± ^ ^5 y — ± — ^ 7=-

et

I /i+Zy/xV

, , , } -h i \j'/c I H- ix s/A , i — / s/f.- I — /> v''^

(il) r = ±: p ^' J = ± 7= jj-

Le cas où /> et fj sont impairs dotnie les mêmes formules que le précédent.

A cause des deux valeurs du radical y/A , on voit que le nombre total des valeurs de k] est 6", et qu'à chaque valeur de k] correspondent deux valeurs distinctes de y^.

Transformations du second degré.

212. On trouverait avec la même facilité les transformations du second degré ^ mais nous verrons par la suite qu'on les obtient en combinant deux transformations particulières du second ordre avec celles du premier. C'est pourcpioi nous nous bornerons à considérer le cas particulier suivant qui nous sera utile.

Soit ' .

La fonction j est une fonction paire du second degré 5 posons

^' en

En faisant z = o, on obtient //z =: i. Changeons z

- -\- z ^= h ^, la lormule devient ,

Identillant avec la valeur précédente, il vient

l^our 2=— = -T on a

1 /■ zb 1 __ X liZ I

Al

/, '^ ^ I X dz 1

Enfin, en égalant les coefficients des puissances de z^, on obtient

Transformation dun degré quelconque quand y s'annule

avec X.

213. Nous allons indiquer maintenant comment on détermine en général la fonction y. Nous examinerons d'abord le cas où la fonction j^ s'annule avec x.

Dans ce cas, a est nulle ou de la forme yn — -\- n w', ; l'é-

quation (7) montre que p est impair, q pair, et l'on a

nous calculerons \ (g^i z, Aj ).

Supposons d'abord p et q premiers entre eux 5 si l'on compare la fonction y à la fonction qui admet les périodes ellip-

TRANSFORMATION DES J-ONt;TIOJ\S F.LLH'TIQTJE3. 253

luiiics (.."208),

on voit (|Uo ces deux Ibiictioiis, .lyanl les mêmes zéi'os el les mêmes infinis, sont dans leur rapport constant; la première est égale à la seconde multipliée par Tune des consta.ites

± i,±--- Mais la fonction aux périodes elliptiques o), w"

s'obtient en divisant par N la seconde période de la fonction .r = X (z, h). SiNcst impair, on pour. a diviser par N la première période au lieu de la seconde. Si ]N = 2"?s', on pourra diviser la première période par ]N', puis la seconde n fois de suite par 2.

Si p et q ne sont pas piemie.s entre eux, leur plus grand commun diviseur /7 est impair; on divisera d abord par d la pi-emière période «, puis on opérera comme précédemment (n" 209).

La valeur dey, pour ^ = — •« est nulle ou infinie suivant que

q' est pair ou impair ; donc le degré du polynôme Q sera supérieur ou inférieur à celui du polynôme P, suivant rjue les nombres q' et N seront pairs ou impairs. Il faut remarquer en outre que la valeur àc y est égale au produit de x par une fonction rationnelle de .r'.

Transfonnntion d'un degré quelconque quand y ne s'annuîc pas a^ec x.

Ce cas se subdivise en quatre^ suivant que p et q sont pairs ou impairs.

214. Premier cas : /; iin]mii\ q pair. — La relation (7) donne

a = — ou a = — — ; car il faut rejeter les hypothèses

cz =: o, a =— qui donneraient y = o pour x = o. La fonction Y est essaie h db , c'est une fraction du premier

degré de l'une des fondions qui s'a.inulenl avec x.

2S4 l.IVKE V.

215. Second cas: p paii\ q impair. — Considérons nnc fonction auxiliaire j^ s'annulant avec x et admettant les périodes elliptiques w.>, w'^ déterminées par les formules

dans lesquelles les nombres entiers «, h, a', //, véritient la relation ab' — ha' = ± i . On aura

w =1 [ap -\- a' q) w. -h [bp -h b' q) w', , o>' = {(ip' -\-a' q')oy2 + {bp' -h b' q')ro\, [ap^a'q)[bp' -\-b'q') — [bq + b' q) [ap' -\- a' q') = [pq'-qp'){ab'—ba')^^.

Si Ton prend, ce qui est permis, a = b = a' =: i et é'zn 2, la fonction ji est ime fonction rationnelle en x du degré N5

on voit que la somme - des deux valeurs de z qui dans chaque paralléloi^ramme correspondent à une même valeur de y est équivalente a —•, et par suite que y est une lonction rationnelle du premier degré en y y. Ainsi 7 est une fraction du premier degré de l'une des fonctions qui s'évanouissent avec x.

216. Troisième cas : p et q impairs. — On traite ce cas comme le précédent cl on arrive à la même conclusion. On prendra

rt = ^ =rr /;' =: I et a' = ■?..

217. Quatrième cas : p et q pairs. — Comme nous l'avons vu au n" 209, la fonction y s'exprime par une fraction qui ne contient que des puissances paires de .r.

Soit p = ipi., q =z iq,:^ posons

Désignons par /, le module delà fonction aux périodes elliptiques ro, , o)j et par g.2 son paramètre, la fonction

TRAiNSFORMATIOW UES FnACTIO>S ELLIPTJQLES. 255

sera donnée par la formule du n" (!212)

1 + kx''

1 — hx-

On a ensuite

roj r= p 0), -f- </' oj| ,

!.<• d('lerniiiiant

p' (^h~n')-n'{p^-in

esl eeal a — • Posons maintenant

z + "7^ = z', d'où .r, = A (g'2 z', /;) ;

la sonnne des deux valeurs de z^ qui, dans chaque parallélogramme élémentaire, correspondent à une même valeur de;^, étant équivalente à o, la somme des d(>ux valeurs de z' est équivalente à —; il en résulte que y est une fraction rationnelle ?, i .

N en Xi du degré — Si p' et q' ne sont pas tous deux pairs, cette

fraction se déterminera comme nous l'avons dit; mais si // et ff contiennent le facteur 2, on répèlera une seconde fois la même réduction. Cette seconde transformation ramène le module primitif A, tandis que le paramètre acquiert la valeur 2, et la nouvelle fonction jt'a a pour valeur

I 11 — 7. fr X- H- /^r'

/ &> , \ /■ I — 2 .r^ H- fi- .r'

218. Le résultat de deux transformations successives, l'une du degré ;7 , l'atitrc du degré n', s'obtiendrait par une seule transformation de l'ordre N = ««'. Réciproquement, toute transformation de l'ordre N = }in' peut s'obtenir par deux transformations successives , la première du degré //, la seconde du degré n' . Cette proposition est évidente lorsque la fonction jy > évanouit avec x, puisqu'alors on obtient la fonction en divisant les périodes de x par deirs n()inl)res d<Mit le pi'oiiuit est JN,

^S6 iivr.E V.

et que Ton peut remplacer chaque division pai ilenx divisiouh

successives ; il est facile de l'étendre à tous les cas.

En appliquant au cas où le déterminant est égal à 2 ce que nous avons dit dans les n°' 213 et suivants, on voit que les transformations du second degré s'obtiennent en combinant, soit la formule (2) du n° 196 pour la division (]e la seconde période par deux, soit la formule (12) du n" 212, avec les formules de transformation du premier degré.

219. Legendre s'était proposé le problème de la transformation comme moyen de simplifier le calcul de la valeur approchée de l'intégrale définie

dans laquelle le module A a une valeur positive inférieure à l'unité. On obtient rapidement la valeur approchée de ::, lorsfiue h est voisin de zéro ou de un 5 il s agissait de ramener rinié"rale à l'un des cas précédents, par un changement de variable. Dans la première transformation indiquée par Legendre, la fonction y est une fonction irrationnelle de x., elle correspond à la division par 2 de la première période de la fonction x.