CHAPITRE YI

HEMAUQrES StIR LA TRÀNSFOK MATION.

Remarques sur la dn'ision {le la preinihre période.

220. Nous avons donné, n"' 198 et suivants, les formules indispensables pour la division de Tvine des périodes d'une fonction elliptique par un nombre impair n. A ces formules , on en peut ajouter beaucoup d'autres utiles dans les applications.

Supjiosons d aboid fju'il s'agisse de la division de la |>r('-

KEMAI'.Ql KS SLiU LA TU A^ SFon M ATIO.N . iS^

mîèrc période-, on a trouvé

<-'-^(i-")^-(i-=::)-ni-^

/" 7 \ JT

221. Remarque I. — On démontre aisément que la fonction w (g'i z, Ai ) el le produit

p(.). . + ^\ j. + .ey. ^,[

,j.\z-\-ln — \\ -

il il

oui les mêmes périodes élémentaires — et h Q! . les mêmes

^ 77 in

zéros et les mêmes infinis; donc d'où, en faisant 2 = 0, On a de même

258 Livnr. V.

En faisant " = 7 clans la formule {7), il vient

et, en se servant de la relation v (y — z\ -j (c)=Â'{n" 10! ),

u\ / ii\ / « — I i>

vM - V 2 - . . . V

La division membre à membre des formules (i) et (5) donne

La comparaison des formules (8) et (9) , puis des formules (2), (3), (4) conduit aux relations

222. ReaîArque II. — An lien d'exprimer les fonctions / (^,z, A, ), fz(§-iZ, A, ),..., par des produits, on peut les exprimer par des sommes.

. Si,dans la formul*' (i), on groupelcfacteur}> ( 2 H ) avec lo

faneur ^ ( i: + [n — i) — j qui esl t?gal à ?. iz — — )i puis les

KEMAUVl KS SLT, L\ TllANSFOKM ATIOK . St.^CJ

facteurs l iz-i-2—\^'Xiz-{-{n — a)—),..., on a

yiz)

„„.^(ILks)

I — /î'Xnz)A= (-1

Il en résulte d'abord, d'après les relations (4) et (i i)

- .-.(.fi)

Si, dans l'équation (i5), on considère l{giZ, Aj) comme une quantité donnée et X(z) comme l'inconnue, les n valeurs de l'inconnue sont les valeurs des quantités

> (z), ), f Z-f--^J, ). fz|-2^J,.-- •» >( 2- +(// — !)- j, "

puisque le second membre ne change pas quand z augmente de — . Or, si l'on ordonne 1 équation par rapport aux puissances de X (z), on voit que la somme des lacines est égale à

ou a

Ainsi

Ms...i.)=^ 1 '{'-^"7,

On a de môme

f^ \PZ

.= . ,-xnn'z)r(;,^)

223. Remarque III, — On exprime aisément par des formules analogues à celles des numéros 221 et 222 la fonc-

REMARQUES SUR LA TRANSFORMATION. uGl'

tîon 1 — A(g,z, A,), (jui, dans chaque parallélogramme élémentaire, admet le zéro double ,-• On sait (n" 198) que 1 une

, . , ii ii , , , ii . 3ii

des ciuantitesT \- P - est égale a -^ ou a -v-, suivant (lue n

est de la forme 4"' H- i ou delà forme 4^' — i. On aura donc,

dans le premier cas, ' . .

dans le second cas.

(21) I A(^,Z,/i,)=-B JJ |^,+ A ('24-/^^)1.

La constante est la même: on la détermine en faisant z = o, ce qui donne

La Ibnclion i — ^"1 ^' (^i^, A») admet, dans chaque parallélogramme élémentaire, le zéro double '. f- — • Lune des quan-

. , ii il' a , , , , n il' , 3ii iV

tites -T— H hA* - étant égale a ~, H oua-r- H »

suivant que n est do la forme 4"'-f-i ou de la forme ^n' — i,

on aura, dans le premier cas,

(22) i-/Ç-,(g',z,/(,)=C JJ r,A>. U-H/y ^)1 dans le second cas,

En faisant z = o, on trouve

On peut transformer ces formules, si l'on met à part le premier facteur, et si l'on groupe les autres deux à deux, en remarquant que

et que

on obtient les quatre formules suivantes

(25) ,>(g,5,/?-,) = [l+>(z)] JJ

n L Ki-^)J

rt— I

nUMARQUES SUR LA ïll VNSrOUMATlON . .t6S

La première et la tioisièine s'ap[)li(|U(ni lois([U(; // est de la forme 4 fi' -h i '-, les deux autres quand n est de la forme 4 «' — i • En remplacaîil z par — z, on obtient les fonctions

on en déduit les valeurs de ,a(^,2, Aj) et de v(^, z,^]) obtenues d'une autre manière.

Remarques sur la division de la seconde période.

224. Les formules pour la division de la seconde période sont semblables aux précédentes; on les obtient en remplaçant dans celles-ci, dont nous désignerons l'ciisenible par (•^),ii pai'

îî', et, en outre, dans la formule (^) A par ( — i) - A , et

dans la formule (3) g^ par ( — i) ' gi 5 soit [s') l'ensemble des nouvelles formules. L'omission de ces deux derniers cliangenienls donnerait la fonction inconnue changée de signe lorsque n est de la forme ^ Ji' — i. En remplaçant dans les formules (5) îî par dr rtft -h (i 4= n) fi', ce qui est permis, les signes supérieurs correspondant au cas où n est de la forme 4 n'-\- 1 et les signes inférieurs au cas où n est de la forme 4 '^' — ï > on obtient, au signe près des deux constantes A et ^1, les formules relatives à la division de la seconde période. Ainsi, abstraction faite du signe, la division de la seconde période par n donne les mêmes fonctions que la division de la première période par le même nombre, ce qui s'accorde avec la remarque du n° 200.

225. Dans les formules (5), Q. désigne la première période de l'un des couples de périodes elliptiques de la fonction "k (z,A); c'est-à-dire que l'on a

n — (4rt H- 1 ) w H- 4 ^ <■>'»

4« -I- I et 4 ^ étant premiers entre eux. Mais ces formules ne changent pas lorsqu'on augmente lî d'un multiple de nu) ou de not)'; or on peut prendre t et l' ;iinsi (|uc a et h. de manière

que Ton ait ; . ; 1

{^a -i- ^) Cl -i- ^h (,/ -\- /itw -+- /i t' M = [ ^ a -h i -h tx-) w -\~ (^ /^ b -{- nt' ) (,>' = p M -{- g (,>' , '

p cl q étant des nombres quelconques n'ayant pas un même facteur commun avec n. Dans ce qui suit nous supposerons que 12 désigne la quantité poy-\-qu>', et qu'en outre q est pair.

Transformations complémentaires .

22(5. On sait que la fonction au module //^complément de h, a pour périodes (n" 107)

On en déduit

en désignant par fli une période analogue à fl servant pour la transformation de la fonction au module complémentaire.

Si dans les formules [s) ou change z en /z, £î en zHi, et que l'on remplace les fonctions

par leurs valeurs à l'aide des fonctions

'^■{g'h'^'\)y ^{g^^y^-\)y -^ig'h^-'i), ^{g^h^\},

dans lesquelles le paramètre gi n'a pas changé, tandis que le module Aj est remplacé par son complément (n° 106) 5 si en même temps on exprime les fondions

à l'aide des fonctions

liKMAnQUr.S SUU LA TRAftSFORMAXlOJS. ^65

et les constantes

à l'aide des nouvelles consiaiiles

on déduira ainsi des formules qui servent à passer du module A au module Aj celles qui servent à passer du module A' complément de A au module A', complément de A,.

Les formules déduites de la série [s) seront les analogues de «elles de la série [s'), et réciproquement.

TransJ'ormatÏGns snp])Icnieiitaires.

^1^11. Si, après a\oir divisé par n la première période fl de la fonction X (^, A), on divise également par ?i la deuxième période fl' de la seconde fonction, on revient, ainsi que nous l'avons observé, au module primitif et le résultat est 1 {nz, A). Ce sont ces deux transformations successives que Jacobi appelle transformations supplémentaires ; leur ensemble équivaut à la multiplication de l'argument z. On a donc

ti — I

>Ms'.2, /m)

Mais on sait que

par conséquent le diviseur du dernier facteur a pour valeur

on verrait de même que le précédent est

\ in

et ainsi de suite. Si l'on change l'ordre des diviseurs, la valeur de A {nz. A) prendra la forme suivante

(28) \[nz,h)=-\{s,z,k.) TT

Pour fixer les idées, supposons le module A réel et moindre ({ue l'unité, la fonction /. (z, A) a pour l'un de ses couples de périodes elliptiques

, /" du , f du

les intégrales étant reciilignes. Admettons que le paramètre gi et le module Aj se rapportent à la division par n de la période w; d'après l'équation (4), quand n devient très-grand, A, tend vers zéro 5 par conséquent la limite du produit

w __ , /" du

est égale à 27:, celle de — est égale — ; enfin celle de

> I — a, A, I , (jviand on suppose que a reste fixe, est sin — -«•

y Si dans la formule (24) on fait z = -y t restant constant lors-

que n augmente indéfiniment, il vient

2 ttÇ . 2it'C ■ sm'

.,,, ,x w .2 71-!; sin'2 7rp sin'47rp \l<;, A) = - — sin 1 . l—L .

2 7T W . 2 TtH . ZITC

sm' sin' ^

Sin' 7rp sin d 7rp

kilmarques sur la. transi ORMAiroN. 267'

C'est par celle démonslralion , ([u'il serait aisé de rendre

rigoureuse, que Jacobi obtient le développement des fonctions

elliptiques en produits d'un nombre infini de facteurs [voyez