livre IV, chapitre

Transformation fîu troisième degré.

228. Afin de mieux faire comprendre la méthode, nous allons effectuer les calculs pour la transformation du troisième degré et pour celle du cinquième degré. Nous commencerons parla transformation du troisième degré.

Si l'on développe suivant les puissances de z les deux membres des équations (qS) et (27), et si l'on égale les coefficients de z , on a

En égalant les coefficients de z* dans les deux membres de l'équation (5) , on trouve

Enfin l'équation (4) devient

Posons l'équation (Sa) donne

V12/ p' puis l'équation (29)

a6S ... LIVRE V. "■'■■-

Substituant dans l'équation (So), on obtient l'équation entre les modules

(33) p' — q'=z-lljq{l — p'q').

De l'équation (3i) on déduit

La substitution dans la formule (iS) donne la formule de transformation

(Si) j- = - q{'^p'-q)-p'-':\

q^ I — p'q[ip^ — 9) •^"

En éliminant X* ( — | entre les équations (12) et (i3), on obtient l'équation modulaire sous la forme

qui se ramène aisément à l'équation (3o).

Si l'on suppose;? réel, positif et moindre que l'unité, l'équation (33) a une racine réelle comprise entre o et p, une seconde racine réelle comprise entre — i et — p et deux racines imaginaires. La racine positive correspond à la division de la période w, la seconde racine réelle à la division de la période w'.

Transformation du cinquième degré.

2t^9. Les équations (24), (26), (5), (7), (4) donnent de la même manière que dans le cas précédent,

(38) ^.^^=,-t-2[V^(a)+À^(3a)l-2[A=(2a) + XU4'^)]r (3^) . y'{a.)V['6a) = -^\

REMARQLES SUR J.A TRANSFORMATION. uGg

Jaiis lesquelles a désigne , pour abréger, la «juanlite — -• Si Ton pose

on déduit des équations (89), (35), (36),

Eliminant entre les équations (87) et (38) le binôme A' (2a) 4- À- (4a) , puis substituant à la place des quantités leurs valeurs, on obtient l'équation modulaire, qui peut prendre les diverses formes suivantes :

( 4o) p'—q'-h Sp' q' (p' — 7' ) — 4 pq ( I — // 7' ) = G ,

(42) ip'-^T){p-—q') — /^pq{l +pq'){l—qp') = 0.

L'une des équations (33) ou (34) donne ensuite la valeur <Je V (2a) -h /^ ( 4 a ) 5 on trouve

d'ailleurs , on a

/(3a + a) ). (3a - a) =M4 a).> (2 ,.) = -A^^^l^^-^y il en résulte

p">{i-^pq'

ayo LIVKE V.

d'où, enfin, la formule de transformation

/,n'{2<x)x-' I ~ /•'•/.'( 4a). r' T i-hpq'—p{p'+q'){q-i-p')x'+p'c/{r/+p')x*