SUITE DE LA TRAKSFORMATIOIV

230. On peut, avec Abel, généraliser le problème de la transformation cl se proposer dcdéterrainer gt et A, de manière que l'équation . . - df dx

ail une intégrale définie par une équation algébrique

entre les variables x cl y. Si l'on continue de désigner par z une variable auxiliaire liée aux variables ^r ely par la relation

(3) ^,==A = 'Jf, ■ -

g,^y àx

on aura

(4) x = \{z,li), j ~ > (g, (z + a), /,).

SoitlN le degré de l'équation (2) par rapport à }^ ^ o), 0/ les périodes de la fonction elliptique )> (z, h) ; Wj, 0/ celles de la fonction X(g^, z,A, ). Supposons que l'on ait remplacé dans l'équation (2) x ci y par leurs valeurs en fonction de z; quand z augmente d'un multiple de w, x ne change pas; or a chaque valeur de x correspondent seulement N valeurs de j ; il en résulte que y ne doit pas changer lorsque z augmente

SUITIi DE I.A TnA^S10R.MA 1 ION. UJ l

<l LUI ccilaiii multiple de o) ; le même raisonnement rapplique à la période w'. Ainsi il fani que l'on ail

( /;/ w' ^=p\ u, 4- y'i wi ,

m, Pi, Çi étant des entiers que l'on peut supposer non divisibles par un même nombre, et de même m'. p\, q^.

231. ]Nous allons démontrer ([uc ces conditions sont suffisantes. Sur le plan, dans lequel sont figurées les variations de z, marquons les points a^, a»^ a^, . . . , «', , a, , a'3 , . . . , qui correspondent aux valeurs œ, 2W,..., w', sw',..., attribuées à z\ par les points à^ , d^, a\ , . . . , menons des parallèles à oa, et par les points «i, «2, «3, . . ., des parallèles a oa\-, opérons de même avec les périodes ojj, o)', . l.e plan sera ainsi partagé en deux systèmes de parallélogrammes élémentaires qui correspondent, les premiers à la fonction x, les seconds à la fonction y. Les équations (5) expriment que les points a,„, a^„,, as,,,, . . . , d„,', «'5,,,', . . . , sont des sommets communs aux deux systèmes de parallélogrammes: les droites du premier réseau, qui passent par ces points, se coupent en d'autres points qui sont également des sommets du second réseau 5 faire de chacun des parallélogrammes formés par ces droites est égale à mm' fois celle du parallélogramme élémentaire de la fonction x et à Pi^/', — p\Çi fois celle du parallélogramme élémentaire de la fonction j .

Mais il peut arriver fjue les parallélogrammes renferment dans leur intérieur des points communs aux deux premieis réseaux. Pour former le troisième réseau de manière que ses sommets comprennent tous les points communs aux deux premiers, on fera mouvoir parallèlement à elle-même la droite oa^ jusqu'à ce qu'elle passe par une seconde file de sommets communs C), C2, C3,. . . 5 puis on joindra l'origine à l'un quelconque de ces points, au point Cj par exemple; par les points ^mi^iiny ^3,ny'''i OU mèucra des parallèles à oci; enfin on prendra sur oCi des longueurs oci = Cic'^ = c',c" ,... , cl l'on mèiK'ra par les points c\,c[ . . . des parallèles à Ofli.

Lo déplacement do oa, se délerniine en cherrlianr le minimum de Z>, pour lequel on a ,

a, ^, ûj, ^, étant des entiers-, question qui ne présente pas de difficultés lorsque m , m\ ;?, , Çi, p\ , q\ sont donnés.

232. Substituons aux relations (5) les relations équivalentes

OT w = /j, W| + <7, w, , •-

D'après ces relations, le plus petit parallélogramme ayant pour sommets des sommets communs aux deux réseaux, est équivalent à mb fois le parallélogramme élémentaire de la fonction j: et à pibi — ■ ^i «i fois le parallélogramme élémentaire de la fonction y.

Soit d le plus grand commun diviseur entre />i et qi ^ i^o-

les entiers ;72,<7,,;y,,<7', vérifiant la condition p^,q\ — p\ q^ = i. On peut remplacer les périodes o)., w'^, comme périodes élémentaires, sinon comme périodes elliptiques, par les périodes 0), , 0)', , et l'on déduit des relations (6)

on a d'ailleurs

p^bi — q^a^^= fis.

Appelons A'j le module de la fonction aux périodes elliptiques Wj, fo'j, gi son paramètre et a, une constante choisie convenablement, on sait (n'^' 210 et 21 I) que la fonction

s'exprime par une fraction du premier degré à l'aide de

StITE DE LA TRA^'S^(>ll-\IATIO-N. 2JJ

La question proposée est ramenée à la recherche de la relation qui existe entre les deux fonctions x et j^,. Pour cela, nous déterminerons un parallélogramme (fl, Q!) qui soit compris exactement dans chacun des parallélogi ammcs (w, co') et (wj, w'j).

Soit cl' le plus grand commun diviseur entre h et 5-, posons

b = d' b^, s =:d' Su puis

on aura , d'après les relations (7) ,

(9) f lad—rm b,t\ , ,

Puisque b^ et Si sont premiers entre eux, on peut choisir/;

, ., ad — rm b,t . . t^ , •

de manière que • H soit un entier ti. Désignons par

K le module de la fonction aux périodes D., fL' et par G son paramètre, par a^ et a^ deux constantes choisies conveiiablement, on aura (n°207)

f et <s étant les caractéristiques de deux fonctions rationnelles, la première du degré ch et la seconde du degré nib: il en résulte, en désignant par aj une constante qui dépend des deux constantes cc^ et «3,

et, en remplaçant /j par sa valeur en j,

a étant une constante déterminée.

L'équation (10) contiendra donc les variables x et j' sépa-

o.-.j LIVRE V.

rées, la première au degré rAv, la seconde au degré rnh. De celle intégrale partieulière on déduit aisément l'intégrale générale de réquation (i) pour le système de valeurs g',, ^, considéré 5 cette intégrale est donnée par l'équation

C étant une constante arbitraire.

Ainsi, à l'aide de la fonction auxiliaire au module K, la tfueslion proposée se ramène immédiatement à celle traitée au chapitre iv, et l'équation entre x et y peut toujours être mise sous une forme telle, que les variables soient séparées. Il résulte également du chapitre iti, que cette équation est résoluble par rapport à chacune des variables.

233. Nous allons examiner d'abord quelqu(>s cas particuliers.

i''. On demande que A-, = A.

Dans ce cas, on a '

])ar suite les relations (5) deviennent

en désignant par p le rapport —

Lorsque le module A est réel, on peut supposer p= r/, r étant réel. Si l'on veut que g-, soit réel, il faut prendre

puis

p et <7 étant deux entiers premiers entre eux. Alors on aura

SLITE m; lA rr. \>SF(JRMATI()N. 2^;>

Si £'1 11 est pas réel,//, et y, seront différents de zéro, et l'on tire des équations (12)

donc il faut alors que p soit racine d'une é([uation du second degré à coefficients entiers, et par suite de la forme

rt, ^, r/, c étant des entiers dont le dernier est nécessairement positif. On aura, en outre

p, + r/i p a' -ir b' y/— c

ri'

Réciproquement, si les quantités 0 et gi sont de la forme (i3) et (i4)î les fonctions X (^1 ( 2 H- a). A) et ^ (z, Âj) satisferont à l'équation (i). Eji effet, ces relations peuvent s'écrire

r/'g-, — a' do — a

d' s, — n' dû — a d' o-, — a' dr, — n

qui pi^ennent la forme (12).

2". On suppose

/■, = k' = sj I — A\ On a alors