Troisième cas : p et q impairs. — On traite ce cas

comme le précédent et on arrive à la même conclusion. On

prendra

a = b = b' z= i et a! ^=.1.

217. Quatrième cas \ p et q pairs. — Comme nous l'avons vu au n° 209, la fonction / s'exprime par une fraction qui ne contient que des puissances paires de x.

Soit p = 2p,, y= 2^1; posons '

Désignons par kf le module de la fonction aux périodes elliptiques «8 , 0)', et par g^ son paramètre, la fonction

r, => (g, iz+ jU X, j

TRÀMSrOBMATtON DfeS FONCTIONS ElLI^TTQUES. a55

sera donnée par la formule du n^ (SIS)

I +Ax^

I — A-or*

On a easttite

b>, = ^' «, H- q' w', , «', = (Pi "Pi «> -*- (7« — ?') «. • Le déterminant

N est égal à — Posons maintenant

»4--j=:z', d'où Xi = \{giz\A^);

la somme des deux valeurs de z , cpii, dans chaque parallélogramme élémentaire, correspondent à une même valeur dey, étant équivalente à o, la somme des deux valeurs de ^ est équivalente à — ; il en résulte que y est une fraction rationnelle

en Xi du degré — Si /?' et </ ne sont pas tous deux pairs, cette

fraction se déterminera comme nous Fa vous dit; mais si p^ et (jf contiennent le facteur 2, on répétera une seconde fois la même réduction. Cette seconde transformation ramène le module primitif A, tandis que le paramètre acquiert la valeur 2, et la nouvelle fonction x^ a pour valeur

218. Le résultat de deux transformations successives , l'une du degré n , l'autre du degré n\ s'obtiendrait par une seule* transformation de Tordre N = 7^/»^ Réciproquement, toute transformation de Tordre N = /*»' peut s'obtenir par deux (ransformationd successives , la première du degré 71, la seconde du degré n'. Cette proposition est évidente lorsque la fcmction j s'évanouit avec x, puisqu'alors on obtient la fonction en divisant les périodes de x par deux nombres dont le produit est N,

et que Ton peut remplacer chaque division par deux divisions successives ; il est facile de Tétendre à tous les cas.

En appliquant au cas où le déterminant est égal à 2 ce que nous avons dit dans les n^' 213 et suivants, on voit que les transformations du second degré s'obtiennent en combinant, soit la formule (2) du n^ 196 pour la division de la seconde période par deux, soit la formule (12) du n° 212, avec les formules de transformation du premier degré.

219. Legendre s'était proposé le problème de la transformation comme moyen de simplifier le calcul de la valeur approchée de Tintégrale définie

Jr' dx

dans laquelle le module k a une valeur positive inférieure à l'unité. On obtient rapidement la valeur approchée de z, lorsque h est voisin de zéro ou de un 5 il s'agissait de ramener l'intégrale à l'un des cas précédents, par un changement de variable. Dans la première transformation indiquée par Legendre, la fonction y est une fonction irrationnelle de x; elle correspond à la division par 2 de la première période de la fonction x.