Premier cas : p impair^ q pair, — La relation (7) donne

a = ~ ou a = ^ ^ ; car il faut rejeter les hypolbèses

a r= o , a = —i qui donneraient y=o pour x = o. La fonc-

tion Y est ésale à ± r-: 7— î c'est une fraction du premier

degré de Tune des fonctions qui s'annulent avec x.

215. Second cas : p pait\ q impair. — Considérons une fonclion auxiliaire y^ s'afnnulant avec x et admettant les périodes elliptiques co^^ co', déterminées par les formules

dans lesquelles les nombres entiers a^ b, a% b'^ vérifient la relation a& -^ ba! = dz i . On aUra

» = (17/? + a'q)<bH ■+• [hp + b'q) w\ ,

Si Ton prend, ce qui est permis, a = i fcat tf'isr i et 6'= 2, la fonction /i est une fonction rationnelle en x du degré N;

on voit que la somme - des deux valeurs de z qui dans chaque parallélogramme correspondent à une même valeur de y est équivalente à — > et par suite que y est une fonction rationnelle du premier degré en y^ . Ainsi ^ est une fraction du premier degt^ de l'une des fonctions qui s'évanouissent avec x.