CHAPITRE VI

REMARQUES SUR LA TRAirSPORMATION.

Remarques sur la division de la première période,

220. Nous avons donné, n^* 198 et suivants, les formules indispensables pour la division de Tune des périodes d'une fonction elliptique par un nombre impair n, A ces formules, on en peut ajouter beaucoup d'autres utiles dans les applications.

Supposons d'abord qu'il s'agisse de la division de la pre-

«BMAUQURS sua LA TRANSFORMATION. ^3^

mière période ; on a trouve

'•(i-:)Kr<)--(i-^:)

ft— 1

221. Remarque I. — On démontre aisément que la fonc^ don fi^gi Zjkf) et le produit

ont les mêmes périodes élémentaires — et f- îl', les mêmes

zéros et les mêmes infinis; donc

d'où, en faisant 2 = 0,

On a de même

a58 LIVRE V

En faisant ^ = 7 dans la formule (7)^ il vient

el, en se servant de la relation v ( ^ — z\ v (2) = A'(n** 401),

La division membre à membre des formules (i) et (5) donne

(10) tj {g,Zi k^) = ^vj{z)tj Iz -h -y • ' ïT f«-H (w — i)-j-

La comparaison des formules (8) et (9) , puis des formules (a), (3), (4) conduit aux relations

.-. •■{-:)-(-:)--(^ï)=vf-