o Ainsi
LITRK T.
On a de même
p=zn — I
-■fT^^Wl I+2J»'(^)
. r=? iH)
223. Remarque III. — On exprime aisément par des formules analogues à celles des numéros 221 et 222 la fonc-
DEMARQUES SUR LÀ TRANSFORMATION. a6l .
tîoD I — ^(gi^ff^i)i qui, dans chaque parallëlogramme élémentaire, admet le aero double 7—* On sait (nP 198) que Tune
des quantités -= — bp^ est égale a y ou a -p» suivant que n
est de la forme 4''^ H- i ou de la forme 4 '^^ -*- 1 • On aura donc, dans le premier cas,
(20) i-X(g^.z,X.) = B JJ j^,-.>(*4./^^)],
dans le second cas,
(Ji) ,-X(g-.i,*.)=B XI ['-^-^ (*■+-/' ^)]-
La constante est la même; on la détermine en faisant z^o, ce qui donne
La fonction i — Xti X (gtZ^ ki) admet, dans chaque parallélo-
il ûf gramme élémentaire, le zéro double 7 — | — • L'une des quan-
mes 7 1 hp - étant égale a 7 H oua-r-H ^
suivant que n est de la forme 4n' + i ou de la forme 4^^' — i? on aura, dans le premier cas,
(22) i-x-.(gr.z,x.) = c Jl |^,*x^,H-p5^j,
dans le second cas,
(a3) i-X,X(^,x,*,) = C JJ r, + *>/, + pL')l.
26a LIYAE Y.
Kh faisant x =s o, on tronve
J=.(e).(.î)... .,(==iî).
Où peut tt^ansformér ces foi'MuIés, si Ton inet a part le premier faetetu*, et ai Teoi grè^ii^ le» autreè deux à deux, en remarquant que
et que
on obtient les quatre formules suivantes
(26) .-*.X(iri^ *.) = [— *X{«)] JT != ^VhT^ =^
(27) ,-*.M^.»,A.) = [n-AX(z)] TT i^ ^VûT^ ^
REMARQUES SUR LA TRANSFORMATION. a63
La première et la troisième s'appliquent lorsque n est de la forme 4 n' + i *, les deux autres quand n est de la forme 4 ^' — > • En remplaçant z par — z, on obtient les fonctions
OQ en déduit les valeurs de fA(gtZ, ht) et de v {g\z, it,) obte* nues d'une autre manière.
Remarques sur la dix^ision de la seconde période. '
224. Les formules pour la division de la seconde période sont semblables aux précédentes -, on les obtient en remplaçant dans celles-ci, dont nous désignerons l'ensemble par (5), Q par
îî', et, en outre, dans la formule (2) A par ( — 1 ) ^ A , et
dans la formule {i) gt par ( — i) ^ gx^ soit (5') l'ensemble des nouvelles formules. L'omission de ces deux derniers changements donnerait la fonction inconnue changée de signe lorsque n est de la forme 4 nf — i. En remplaçant dans les formules (5) 12 par d: w fl -♦- (iqi ») fi'j ce qui est permis, les signes supérieurs correspondant au cas où n est de la forme W-^i et les signes inférieurs au cas où n est de la forme 4 n' — i , on obtient, au signe près des deux constatâtes A et gi, |es formules relatives à la division de la seconde période. Ainsi ^ abstraction faite du signe, la division de la seconde période par n donne les mêmes fonctions que la division de la première période par le même nombre, ce qui s'accorde avec la remarque du n* 200.
225. Dans les formula (^l» A désigne la première période de Tun des couples de périodes elliptiques de la fonction l {z^k)'^ c'e&t-à-dire que Van. a
û=(4a-hI)•*-^4*•>^
4a + 1 et 4 ^ étant premiers entre eux. Mais ces formules ne changent pas lorsqu'on augmente SI d'un multiple de /lo) ou 4e nw'^ or on peut prendre I et i' ainsi que a et J, de manière
que l'on ait
p et g étant des nombres quelconques n'ayant pas un méoae fjEicteur commun avec n. Dans ce qui suit nous suf^oseron» que H désigne la quantité pcù-^qtù'y et qu'en outre q est pair.
Transformations complémentaires .
226. On sait que la fonction au module ft^^ complément de A^ a pour périodes (n° 107)
On en déduit
en désignant par fli une période analogue à H servant pour la transformation de la fonction au module complémentaire.
Si dans les formules. (5) on cbange z en iz, Q, en iHi, et que Ton remplace les fonctions
'^(gtizykt)y f*(gr.f2,^,), ^(gtizy^t), f!r(giiif^t)
par leurs valeurs à F aide des fonctions
^ {g^ h K)f f* {gt «, ^'. )> V (g'. z, k\ ), o (g'.z, if', ),
dans lesquelles le paramètre g^ n*a pas changé, tandis que le module hi est remplacé par son complément (n«* 106) j si en même temps on exprime les fonctions
k Taide des fonctions
REMARQUES StIR LA TRÂASFOR^ÀTIOK. 265
et les constantes
à l'aide des nouvelles constantes
on déduira ainsi des formules qui servent à passer du module h au module hx celles qui servent à passer du module A' complément de h au module À'i complément de Ai.
Les formules déduites de la série [s) seront les analogues de celles de la série (5'), et réciproquement.
Transformations supplémen t aires .
227. Si, après avoir divisé par n la première période lî de la fonction \ (^^ A), on divise également par n la deuxième période 0! de la seconde fonction, on revient, ainsi que nous l'avons observé, au module primitif et le résultat est i (/iz, A), Ce sont ces deux transformations successives que Jacobi appelle transformations supplémentaires ; leur ensemble équivaut à la multiplication de l'argument z. On a donc
Mais on sait que
par conséquent le diviseur du dernier facteur a pour valeur
266 LIVRB V.
on verrait de même que le précédent est
et ainsi de suite. Si Ton change Tordre des diviseurs, la valeur de X (nzj k) prendra la forme suivante
{28) X(nz,k}=^l(g^.,A;} JJ \ " /
Pour fixer les idées, supposons le module A: réel et moindre que Tunité, la fonction 1 (z, A) a pour Fuu de ses couples de périodes elliptiques
les intégrales étant rectilignes. Admettons que le paramètre gx et le module ^1 se rapportent à la division par n de la période w, d'après l'équation (4), quand n devient très-grand, Al tend vers zéro 5 par conséquent la limite du produit
6> r' du
est égale à 2 tc , celle de — est égale ~ -, enfin celle de X ( — a, A, ] j quand on suppose que a reste fixe, est sin — «• Si dans la formule (24) o» faû r == -> Ç restant constant lorsque n augmente indéfiniment, il vient
airÇ . .2fri;
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