REMARQUES SUR LA TRANSFORMAT ION

C'est par cette démonHration , qu'il serait aisé de rendre rigoureuse, que Jacobi obtient le développement des Ibuctious elliptiques en produits d'un nombre infini de facteurs (voyez livre IV, chapitre ii).

Transformation du troisième degré,

228. Afin de mieux faire comprendre la méthode, nous allons effectuer les calculs pour la transformation du troisième degré et pour celle du cinquième degré. Nous commenœrons parla transformation du troisième degré.

Si Ton développe suivant les puissances de z les deux membres des équations (sà5) et (27), et si Ton égale les coefficients i% z, un a

,3,, i„=,,,(ii).

En égalant les coe&cients de z' dans les deux membres de Téquation (5) , oh trouve

Enfin r^qaktivHi (4) devient

Posons Téquatiou (32) donne

puis réquatiod ^29)

a68 LIVRE V.

Substituant dans Téquation (3o), on obtient l'équation entre les modules

(33) P'-r==^pg{i-p'q% De Téquation (3i) on déduit

La substitution dans la formule (i5) donne la formule de transformation

^ ^' q" l'-p^q{ip^^q)x' s

En éliminant X* ( — | entre les équations (12) et (i3), on ! obtient l'équation modulaire sous la forme

qui se ramène aisément à Téquation (3o).

Si Ton suppose^ réel, positif et moindre que l'unité, l'équation (33) a une racine réelle comprise entre o et p^ une seconde racine réelle comprise entre — i et — p et deux racines imaginaires. La racine positive correspond à la division de la période co, la seconde racine réelle à la division de la période (J,

Transformation du cinquième degré.

229. Les équations (24), (26), (5), (7), (4) donnent de la même manière que dans le cas précédent,

(36) g.i=n-a[Ma)-M3«)],

HEMÀRQUES SUH LA tràhsfokmation. ^6g

lans lesquelles a désigne , pour abréger, la quantité — • Si Ton pose

on déduit des équations (Sp), (35), (36),

Eliminant entre les équations (37) et (38) le binôme ^*(2a) +^' (4^)> ptiîs substituante la place des quantités leurs valeurs, on obtient Téquation modulaire, qui peut prendre les diverses formes suivantes :

(42) {p'^q^)[p^^q^)^^pq[i-^pq^)[l—qp^)=,0.

L'une des équations (33) ou (34) donne ensuite la valeur de X' (aa) -f-X' (4«)î ^^ trouve

d'ailleurs , on a

il en résulte

d'où , en6n , la formule de transformation