SVITE DE LA TAAVSPORMÀTION. 37I

d'un ceruin multiple de o) ^ le même raisonnement s'applique à la période a>'. Ainsi il faut que l'on ait

( /?l'ft)'=/?,»,-f-^,», ,

^^Pu Çi élaut des entiers que Ton peut supposer non divisibles par un même nombre , et de même mf, p\ , q\ .

231. Nous allons démontrer que ces conditions sont suffisantes. Sur le plan, dans lequel sont figurées les variations de z^ marquons les points a,, a,, as, . . . , a\, a[^a\, . , , , qui correspondent aux valeurs «, îiw,..., co', 2 w',..., attribuées à z; par les points a\ ^ a\, a, , . . . , menons des parallèles k oa^ et par les points a^, ^s, ^3 , . . . , des parallèles a oa\ \ opérons de même avec les périodes coj, oi)\. Le plan sera ainsi partagé en deux systèmes de parallélogrammes élémentaires qui correspondent, les premiers à la fonction or, les seconds à la fonction y. Les équations (5) expriment que les points a,„, «,,„, «8«5 • • M û'mS ûUs ••• • > sont des sommets communs aux deux systèmes de parallélogranmies ; les droites du premier réseau, qui passent par ces points, se coupent en d'autres points qui sont également des sommets du second réseau^ l'aire de chacun des parallélogrammes formés par ces droites est égale à mm' fois, celle du parallélogramme élémentaire de la fonction x et à piq\ — PtÇi fois celle du parallélogramme élémentaire de la fonction /.

Mais il peut arriver que les parallélogrammes rwiferment dans leur intérieur des points conmiuns aux deux premiers réseaux. Pour former le troisième réseau de manière que ses sommets comprennent tous les points communs aux deux premiers, on fera mouvoir parallèlement à elle-même la droite oa^ jusqu^à ce qu'elle passe par une seconde file de sommets communs C|, Cj , Cs V • • 5 puîs on joindra Forigine à l'un quelconque de ces points, au point d par exemple; par les points ^m 9 ^sm 9 ^3m 9 • • • 9 OU mènera des parallèles à oci ; enfin on prendra sur oCi des longueurs oci = Ci c', = c, c", ,... , et, l'on mènera par les points c\^c\ . . . des parallèles à o^i.

a^a LIVRE V.

Le déplacement de oa^ se détermine en cherchant le minimum de bf pour lequel on a

au H- ^ w' = fli w, -H ^1 w', ,

a, bj ai, &] étant des entiers; question qui ne présente pas de difficultés lorsque m, m', px^qx^ p\^ q\ sont donnés.

232. Substituons aux relations (5) les relations équivalentes

D'après ces relations, le plus petit parallélogramme ayant, pour sommets des sommets communs aux deux réseaux, est équivalent à mb fois le parallélogramme élémentaire de la fonction x et à pibx — ^, aj fois le parallélogramme élémentaire de la fonction jr.

Soit d le plus grand commun diviseur entre pi et qi ; posons Pi = dpt , Çi = d{ji ,

les entiers ;;« ,<7f , p', , q\ vérifiant la condition p« q\ — p\ ^j = i . On peut remplacer les périodes Wj, w',, comme périodes élémentaires, sinon comme périodes elliptiques , par les périodes Oj , (ù\ , et Ton déduit des relations (6)

( moi == ^Oi>3,

on a d'ailleurs

Appelons k^ le module de la fonction aux périodes elliptiques ods, Cl)',, ^s son paramètre et ai une constante choisie convenablement, on sait (n°* 210 et 211) que la fonction

s'exprime par une fraction du premier degré à l'aide de

sriTE DE LÀ TRANSFORMATION. a^S

La question proposée est ramenée à la recherche de la relation qui existe entre les deux fonctions x et j|. Pour cela,

nous déterminerons un parallélogramme (fl, fl') qui soit compris exactement dans chacun des parallélogrammes {a>, o)') et (&)„ w',).

Soit df le plus grand commun diviseur entre & et 5; posons

puis

,gv ( ta = dd'a^

on aura , d'après les relations (7) ,

, fad — rm ^,/\ , ,

Puisque b^ et Si sont premiers entre eux, on peut choisir t

- ., ad — rm , bit . . t\/ •

de manière que 1 soit un entier tf Désignons par

K le module de la fonction aux périodes îl, A' et par G son i paramètre , par at et a^ deux constantes choisies convenablement, on aura {n°207)

/ et Q étant les caractéristiques de deux fonctions rationnelles , la première du degré ch et la seconde du degré mb \ il en résulte, en désignant par a^ une constante qui dépend des deux constantes a^ et û^s,

et, en remplaçant y 1 par sa valeur en y^

(10) /[liz,A)]='^[lg(z^o.).ki], /(x)=^{r),

a étant une constante déterminée.

Uéquation (10) contiendra donc les variables x et j^ sépa-

rées, Ja première au degré ^/a*, la seconde au degré nib. De celte intégrale particulière on déduit aisément Pintégrale générale de Téquation (i) pour le système de valeurs g',, /r, considéré 5 cette intégrale est donnée par Téquation

C étant une constante arbitraire.

Ainsi, à l'aide de la fonction auxiliaire au module K, la question proposée se ramène immédiatement à celle traitée au chapitre iv, et l'équation entre x el y peut toujours être mise sous une forme telle, que les variables soient séparées. 11 résulte également du chapitre tu, que cette équation est résoluble par rapport à chacune des variables.