Nous allons examiner d'abord quelques cas particuliers

1°. On demande que fc, = /r.

Dans ce cas, on a

par suite les relations (5) deviennent

en désignant par p le rapport —

Lorsque le module h est réel, on peut supposer p:=n\ r étant réel. Si l'on veut que gi soit réel , il faut prendre

puis

m m q p et q étant deux entiers premiers entre eux. Alors on aura

SIJITE DE LA TRANSFORMATION. 2yD

Si gi n'est pas réel , p\ et qi seront différents de zéro , et Ton tire des équations (la)

/n'^ipM- (w>,— mp\)o — mp\ =o;

donc il faut alors que p soit racine d^une équation du second degré à coefficients "en tiers, et par suite de la forme

fl, i, rf, c étant des entiers dont le dernier est nécessairement positif. On aura, en outre

Réciproquement, si les quantités p et gi sont de la forme (i3) et (14)9 'es fonctions ^(gi(z-h «)» Ar) et X (z, /tj) satisferont à l'équation (i). En effet, ces relations peuvçnt s'écrire

rf'gf, — fl' dp — a d^ gi — a' dp — a

qui prennent la forme (12).

2°. Oii suppose