Revenons au cas général. Désignons par pj lerapportdes

périodes —• Si les fonctions aux périodes co, w' et w,, w', sont

liées par une équation algébrique, il faut que Ton ait '

AH-Bp, ^ CH-Dp.

Supposons cette condition remplie. Parmi les divers systèmes de périodes qui la véri tient, si l'on prend ceux qui satisfont

aux relations

w = Aa H-Ba',

w'=Cn-f-Da',

on sait que la fonction aux périodes H, îl' s'exprimera algébriquement par la fonction aux périodes «, &>'. Pour qu'il y ait une relation algébrique entre celle-ci et la fonction aux périodes Wj, w', , qui a même module que la fonction aux périodes fl, fl\ il faut également qu'il y ait une relation algébrique entre les fonctions dont les périodes sont respectivement 0),, 0)', et iî, fi'. Si le rapport pi n'est pas de la forme

a -^ h i/ — c ./ri 1 a a' .

~ 9 il faudra que le rapport ~ = ~t soit commen-

surable; mais si le rapport pi a la forme ^— 5 le rapport — = -7- pourra avoii* une valeur quelconque de la forme