Considérons les deux intégrales définies i) A

(2) B= / V du,

Jo VI — a'

ces deux intégrales étant prises le long d'une même ligue quelconque menée de l'origine au point u = i. On a

B = / , = du

Jo \f i — u^ yi — /^«'

xMais en intégrant par parties , on obtient

f' udu u __ r' s/i — u ' ^^

i--^ /*' du i /»» du .

d'où

Dérivons maintenant par rapport au module A les intégrale»

A et B, il vient dA.__ r' «' du ^

rfA ^ r' 1-- A-'u* Ç * du

c'esi-à-dire, d'après la reUtion (3),

On a de même

(5) X =:B — A, ou A^iB — k-—-

un €tn

Si on élimine B entre les équations (4) et (5), on trouve que A satisfait à Téquation linéaire du second ordre

L'une des valeurs de A, celle qui correspond à l'intégrale

rectiligne, est^ ; puisque l'équation (6) est linéaire, « est Tune

des solutions de cette équation. Les diverses valeurs de A sont comprises dans la formule

dans laquelle m et n désignent des entiers quelconques; donc l'intégrale générale de Téquation (6) est

A = (:«-hC'«',

ou

^ r ' au ^, c du

"~ Jo v^(i— a»)(ï—X-'//') Jo v/( I — «' ( 1 — ^" «')

C et C étant deux constantes arbitraires.