Soient maintenant il, H' deux périodes élémentaires
ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE EKiTRE LES MODULES. 2'jg
quelconques de la ronction X (a, A) ; c'csl-à-dinî Jeux périodes définies par les formules
a' =r cw+rfw' ,
les entiers vérifiant la condition
ab -^ ed = i ,
Les périodes îl, îî' satisfont à l'équation diilérentielle (6), ainsi on a
de ces relations on déduit
et, en intégrant
, , , . r du «TiV"!
(roù
, du ^ da' c
^^ rfÂ~""5>r'""/(i~x-)'
et
C étant une constante indépendante du couple de périodes élémentaires A, H'.
Désignons par /r, et gx le module et le paramètre de la fonction aux périodes élémentaires
a, = - , a' = aS Ws quantités ^^^'i îli , giîir satisfont à l'équation dillércn-
a8o LIVRE V.
tielle que Ton obtient en remplaçant dans (7) la variable indépendante h par Ati , et l'on a
^ ^ ^ Cdk, ^, C/iV//-.
La comparaison des équations (7) et (8) donne
, . , k(i-k')dk,
En remplaçant dans Téquation (6) A par g^ Ai et Xr par A|, on obtient
et, en multipliant par gi ,
"• L — 5*; '"'^'J-^ dk. .=«»•
Mais
rf*, ~ dk '
par suite
^,. ^„ , dh
il en résulte
En substituant pour g^ sa valeur donnée par Téquatiou (9), n disparait, et si Ton prend k pour variable indépendante,
. dk dk^
