ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ENTRE LES MODULES

on arrive à l'équation suivante trouvée par Jacobi dk, d^k, ^ /rf»X-,y

i^[(^)(§r-(iê^)]=-

qui devient

12 [dkd^k, — dk,dn) — Z{[dkd' k,Y -^ [dk.d'kf] -<--■>■ [(^f 4- (^■^*)"]=°'

en laissant la variable arbitraire quelconque.

Il faut observer que rien, dans les calculs précédents, ne suppose n entier, et il suffit que n soit une constante quelconque. Lorsque n est commensurable, les modules k et ki sont liés par une équation algébrique. Ainsi l'équation (lo) jouît de la propriété remarquable d'avoir une infinité d'intégrales algébriques de différents degrés, son intégrale générale est déterminée par la relation

^, a^, /3' étant trois constantes arbitraires.

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES AU MOYEN DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

237. Dans le chapitre i du Hvre II, nous avons indiqué une méthode générale pour étudier les propriétés des fonctions définies par les équations différentielles. Nous nous proposons actuellement d'appliquer cette méthode aux équations différentielles de la forme

dans laquelle F désigne un polynôme entier entre la fonction u et sa dérivée — 1 du degré m par rapport à celte dernière, et

ne contenant pas la variable z.

Nous démontrons d'abord qu'à chaque valeur de u correspondent m valeurs de z, augmentées ou diminuées de multiples quelconques de certaines périodes w, co', . . . .

Nous démontrons ensuite que , si à chaque valeur de la variable correspond un nombre limité de valeurs de la fonction w , l'intégrale est la racine d'une équation algébrique entière entre u et une quantité qui est, ou la variable indépendante z elle-même , ou la fonction circulaire

tang — y ou la fonction elliptique ^[gz).

Nous concluons de là que, si l'intégrale est monodrome, c'est-à-dire n'a qu'une valeur pour chaque valeur de la variable, elle est, ou une fraction rationnelle, ou une fonction monodrome simplement périodique, ou une fonction monodrome doublement périodique. Dans le premier cas, • rintégrale est le quotient de deux polynômes entiers en r, l'un du degré m, l'autre du degré m au plus. Dans le second

INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 'iSS

cas, riiitégrale s'exprime par une fraction raiionaelle en tang — ; dans le troisième cas, par une fraction rationnelle

entre la fonction elliptique X (gz) et sa. dérivée ï!.

Nous nous occupons spécialement des équations différentielles qui admettent des intégrales monodromes. Nous donnons d'abord les caractères très-simples par lesquels on reconnaît , à l'inspection de l'équation difTérentielle, si l'intégrale est monodrome , et ensuite nous disons comment on distingue à quelle catégorie elle appartient.

Cette étude directe de l'équation différentielle a une grande importance, elle nous donne d'abord les propriétés fondamentales de la fonction intégrale, et en caractérise la nature. Elle nous permet, en outre, d'effectuer l'intégration, telle qu'on l'entend habituellement, c'est-à-dire d'exprimer la fonction intégrale au moyen de signes convenus, lorsque cela est possible. Nous trouvons la forme de l'expression^et nous calculons ensuite les coefficients. Ces coefficients sont de deux sortes, ceux qui entrent dans la composition de l'expression et ceux qui servent à définir la fonction circulaire ou tang — » ou la fonction elliptique i {gz). Nous obtenons les premiers au moyen d'équations du premier degré. Lorsque l'intégrale est simplement périodique, la constante ot), qui entre dans la fonction circulaire, est fournie immédiatement par l'équation différentielle. Lorsque l'intégrale est doublement périodique, les deux constantes g et A, qui définissent la fonction elliptique, sont données par des équations algébriques d'un degré plus ou moins élevé.

238. Nous avons appliqué notre méthode d'intégration aux équations différentielles binômes de la forme

et nous avons démontré que, outre les cas où Tintégrale est

284 LIVRE vr.

rationnelle ou simplement périodique, il existe onze équations différentielles de cette forme qui donnent naissance à des fonctions monodromes doublement périodiques.

Nous avons appliqué la même méthode à d'autres exemples plus compliqués. Voici quelques-uns de ceux que nous avons traités.

L'équation différentielle

(S)"+M"-»KJ)"H-f(«-«»-^/-4(.-=)-=o admet une intégrale rationnelle

L'équation différentielle

admet une intégrale monodrome simplement périodique, qixi a pour expression

- tang — l ï H- tang' u =

W , TtZ

I H — tang* —