TT

la période o) étant égale à — ^ tti.

Les équations différentielles

admettent pour intégrales des fonctions monodromes double-

2gr 2 2

M^^Bl-hCW,

ment périodiques ayant pour expressions

Nous en calculons les coefficients.

Nous avons appliqué aussi notre méthode à l'équation du cinquième degré

qui a pour intégrale une fonction monodrome doublement

périodique

AV-f-B>'-hC-4-(DX'-4-E)V

Dans tous ces exemples, afin de fixer les idées, nous avons supposé que, la variable z partant de z =^ o, la fonction a la valeur initiale m = o, et la dérivée la valeur correspondante

l--| = i.Pour avoir l'intégrale générale, il suffirait, dans

chacune des expressions précédentes, de remplacer la variable z par 2r^-H z , «o étant une constante arbitraire.

Ces derniers exemples ne nous paraissent intégrables par aucun des moyens connus jusqu'à présent.

PROPRIÉTÉS DES INTÉGRALES DE l'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

239. Théorème.!. — Étant donnée une équation différentielle de la forme

a86 LIVRE M.

dans laquelle F désigne un polynôme entier entre la fonction

Il et sa dérit^ée — t du degré m par rapport à cette dernière, dz

et ne contenant pas la variable z^ à chaque valeur de «

correspondent m valeurs de z augmentées ou diminuées de

multiples quelconques de certaines périodes.

Soit m le degré de l'équation par rapport à — • La variable z

part de z = Zo, la fonction u ayant la valeur initiale arbitraire I/o , et le coefficient différentiel une valeur délermioée

( — I 9 satisfaisant à l'équation. Considérons d'abord u comme la variable et z comme la fonction; à chaque valeur de «correspondent m valeurs de — > données par l'équation. Si la variable M, partant de Uq , revient au point de départ après avoir décrit un contour fermé ne comprenant aucunpoint pour lequel la racine de l'équation (i) devient égale à une autre, le coefficient différentiel — reprendra sa valeur primitive (-7-] 9 et l'accroissement de r, c'est-à-dire la valeur de l'intégrale le long de ce contour, se "a nul. Mais, si le contour fermé décrit parla variable u comprend un ou plusieurs points pour lesquels l'écpiation admet des racines égales , le coefficient différentiel

pourra changer et prendre une valeur différente ( -r-] î en

faisant décrire à la variable u différents contours fermés, on obtiendra nécessairement les m valeurs du coefficient différentiel

\du/o \duji \duli \du/,n~i

qui correspondent à u = Uq^ et l'intégrale z acquerra les m valeurs correspondantes

Plusieurs conlouis pcuvoiit conduire à la même valeur de

INTÉGRATION PAH LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 1l8y

-^ ; nous nous bornons pour le moment à m contours ramena *

nanl m valeurs distinctes de -r—

du

Supposons maintenant que la variable u, après avoir décrit un quelconque- de ces m contours, aille du point m© à un point quelconque u du plan , en suivant un certain cbemin , par exemple le chemin rectiligne, Tinlégrale z prendra m valeurs distinctes au point u. Ainsi à chaque valeur de u correspond dent déjà m valeurs de z.

Nous avons fait usage de contours fermés qui donnent au

dz coefficient différentiel — les m valeurs qui correspondent à

u = 1/©. En décrivant un autre contour fermé, on reproduira

nécessairement Tune des m valeurs précédentes de -7— Consi-

'^ du

déronsun contour fermé, comprenant des points pour lesquels Téquation admet des racines égales et ramenant la valeur initiale [-7') du coeflScient différentiel 5 désignons par w Tac-

crois.sement de z le long de ce contour. Si Ton fait marcher la variable u de Uq à u suivant une ligne quelconque, soit directement en partant de l'origine u^ , soit après avoir décrit le contour fermé dont il s'agit, le coefficient différentiel redevenant le même en Uq et restant par conséquent le même le long de la ligne, on aura la même intégrale définie dans les deux cas; seulement la valeur de z sera augmentée d'une quantité constante co. Si Ton avait décrit deux fois le même contour fermé, on aurait augmenté la valeur de z de la quantité constante 201), et ainsi de suite. Comme on peut ajouter ce contour fermé une ou plusieurs fois avant chacun des chemins dont nous avons parlé précédemment , on voit qu'à chaque valeur de u correspondent actuellement m séries de valeurs de z en progressions arithmétiques dont la raison est w.

S'il existe un autre c on tour fermé , ramenant la valeur ini-

a88 LIVRE VI.

tiale 1 — J du coefficient différentiel avec un accroissement w' différent de w, cet accroissement w' sera une seconde période, et chacune des m valeurs de z pourra être augmentée de multiples quelconques de o) et de c«)'. On obtiendra ainsi un certain nombre de périodes que Ton pourra en général réduire à un moindre nombre de périodes distinctes.

Il suffit, pour avoir toutes les périodes, déconsidérer les contours fermés qui ramènent la valeur initiale ( — | du coefficient

différentiel, avec divers accroissements o),0t)', . • -9 de l'intégrale. Imaginons, par exemple, un contour fermé qui ramène

la. valeur!—) et qui fasse acquérir à l'intégrale la valeur

Zi -h Wi ; si, après avoir parcouru ce contour, ou décrit en sens inverse le contour qui a produit la valeur Z| , on reviendra à la

valeur initiale, ( — j du coefficient différentiel , Tintégrale

ayant alors une valeur telle que ^oH-w. Ces- deux contours réunis forment donc un des contours considérés précédemment. On conclut de ce qui précédé qu'à une même valeur de u correspondent m valeurs de z dont chacune peut être augmentée de multiples de certaines périodes o), w',. . . ,

240. Remarque /. — Il peut arriver que l'intégrale définie, le long de chacun des contours fermés qui ramènent la valeur

initiale 1 — ] , soit nulle. Dans ce cas, k chaque valeur de u

correspondent seulement tn valeurs de z. D'ailleurs z ne devient infinie que pour un nombre limité de valeurs de u ;*car lorsque

-3 devient infinie pour une valeur finie de m, -j devient nulle;

la valeur de u annule donc le terme indépendant de y dans l'équation différentielle. Si Ton considère une fonction symétrique entière des m valeurs de z^ telle que leur sohime, cette fonction, étant monodrome par rapport à u et n'ayant qu'un nombre limité d'infinis, sera une fonction rationnelle de w. Il

INTÉGRATION PAU LES FOHCTIONS ELLIPTIQIJES. 289

en résulte que z est racine d'uue équation du degré m par rapport à js^ dans laquelle les coefficients sont des fractions rationnelles de II. Réciproquement, u est une fonction algébrique

241 . îiemar^ue II. — Nous ferons observer que Tintégrale d'une équation diHerentiélle

contenant la variable z., F désignant toujours un polynôme enùer, n« peut être périodique. Car, lorsque la fonction u est

périodique y à des mêmes valeurs de u et de— correspondent

une infinité de valeurs de z. Mais l'intégrale peut être alg^ brique, et même entière ou rationnelle*

242. Théorème IL — Lorsquelle admet an nombre limité de valeurs pour chaque valeur de la variable, V intégrale est une fonction algébrique, soil par rapport à z, soit par rapport à

tang — , soit par rapport à'ii[gz).

Nous allons faire voir d'abord que, lorsque la fonction intégrale admet un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de z, elle ne peut avoir plus de deux périodes \ car, si elle avait trois périodes distinctes &>, Oi)^ o)'', elle admettrait un nombre infini de valeurs pour chaque valeur de z. En eflet, quand on fait marcher la variable z le long d'une courbe, Tintégrale est bien déterminée. Soient u et iJ les valeurs qu'elle acquiert aux points z eiz'àe cette courbe. On sait que Ton peut déterminer trois nombres entiers m, m', m'', positifs ou négatifs, de manière que la somme mtù -f- m'w' -h m" tù" diffère infiniment peu d'une quantité donnée z — z'. Supposons qu'après avoir fait marcher la variable jusqu'au point z', on lui fasse décrire ensuite le chemin

de telle sorte que la fonction u décrive les contours fermés qui produisent les accroissements moi>, m'(ù\ m" co)^', la fonction pren-

te

290 LITRE Tl.

drait au point s la valeur u! qu'elle avait au point quelconque z' de la courbe suivant laquelle on a intégré. La fonction aurait ainsi au point z une infimté de valeurs.

On conclut de là que la fonction intégrale ne peut avoir plus de deux périodes. Dans le cas où les périodes s<mt nulles, Tintégrale, comme nous Tavons fait voir, est donnée par une équation algébrique entre u et ^.

Supposons qu'il n'y ait qu'une période distincte (ù -, à cbaque valeur de u correspondent m valeurs de z ,

augmentées des multiples de (ù, et par conséquent seulement m valeurs de tang — 9

ITZ ItZx ItZt ^Zu—x

tang — > tang— î tang — ». • • • ? tang-

tt w » »

Toute fonction symétrique entière de ces quantités, telle» que leur somme, la somme de leurs produits deux à deux,, etc., sera une fonction monodrome par rapport à u ; cette fonction monodrome, ne devenant infinie que pour les valeurs de u en

nombre limité qui correspondent à zs=-, sera donc une

fraction rationnelle de u. Ainsi tang — est donnée par une

équation du degré m ayant pour coefficients des fractions ra-

rationnelles en u. Réciproquement, u sera donnée par une

équation ayant pour coefficients des fractions rationmelks en

%z tang —

Ci)

Supposons maintenant que Fintégrale admette deux périodes distinctes cd et a>\ Concevons une fonction elliptiqpie 1 [gz) définie par Téquation

et admettant les deux périodes o) et a>\ A chaque valeur de u correspondent m valeurs de z^

INTÉGRATION PAR LfeS FORCTIONS ÊLLlPTkQtlES. %gï

«tt^eiuées des oiiiltiplesdes deilie périodes o» et o/, et pai't^orftséquent seulement /» valeurs de "k {gz)^

On verra de la même manière que toute fonction symétrique entière de ces quantités, étant monodroàié par rapport à u, et n'admettant qu un nombre limité d'infinis, est une fraction rationnelle eu u. On en conclut que X (gz) est donnée par nne équation du degré m en X ayant pour coefficients des fractions rationnelles de k% Réciproquement, u sera donnée par une équatiott ayant pour coefficients des fractions rationneiles en X (gz).

243, TirtoRÈitE III. — Lorsqu'elle est monodrome, Vùué^ gràle esty ou une fraction rationnelle^ ou une Jonction simplement périodique^ ou une fonction doublement périodique.

Supposons que^ par un moyen quelconque^ on ait recenau que Fintégrale de Féquation différentielle

est monodrome dans toute Tétendue du plan. D'après ce que nous avons dit dans le théorème précédent, le nombre des périodes ne peut surpasser deux. Si les périodes sont nulles, la fonction, étant algébrique et monodrome, est une fraction rationnelle, c'est-à-dire le quotient de deux poi5môniéS entiers en 2, Tun du degré m, l'autre au plus du degré m. Si la fonction est simplement périodique, elle s'exprimera

par nne fraction rarioniielte en tang - — GarFéquati'Oil entière,

qui existe entre u et tang — > se réduit^ dans ce cas, au premier

degré par rapport k u.

Si la fonction est doublement périodique, l'équation entière qui existe entre u et X (gz) se réduit, non pas au premier degré, mais au second degré ] car, à une même valeur de X corres-^ pondent dans chaque parallélogramme des périodes, deux valeurs de z et, par conséquent, deux valeurs de u. Mais, en ré«^

2^2 LIVAE Vi.

solvant l'éqnation, on obtient pour ii une fraction rationnelle

enXetX'(n« 78).

Moyens de reconnaître si la fonction intégrale est mo-

nodronie.

244. Nous avons démontré que l'intégrale d'une équation différentielle de là forme

lorsqu'elle est monodrome, est ou une fraction rationnelle, oq une fonction simplement périodique, ou une fonction double** ment périodique. Nous allons maintenant nous occuper des moyens de reconnaître si l'ititégrale est ihonôdrome, puis nous dirons comment on distingue à quelle catégorie elle appartient^ Nous avons fait partir la variable z du point z=^oj la foiiction u ayant la valeur initiale arbitraire i/q, et le coefficient différentiel une valeur déterminée Uo, satisfaisant à Téquation.

Tant que le coefficient différentiel —r que, pour abréger^ nous

t-eprésenterons par TJ, reste racine simple de Téquation proposée, U est tine fonction monodrome de u et, par conséquent, n fonction monodrome de z. Voyons ce qui arrive lorsque, z arrivant au point z^ et u à la valeur i/i, le coefficient différen-^ liel devient racine multiple de l'équation.

Nous distinguerons ces racines multiples en deux sortes : les racines nulles et les racines différentes de zéro.

245. Supposons d'abord que le coefficient devienne égal à une racine multiple Ui, différente de zéro. Posons

Si w' est une fonction monodrome de z! autour du point Jz! = o, elle se développera en série convergente suivant les puissances entières croissantes de z!^

(2) //' = U. a' -+- az" -h bz'^ -f- ... ; -

INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. ikgi

Si série commence par un terme du premier degré ayant pour ^coefficient Ui 5 car, pour ^ = o , la dérivée

^3) g! = u. -h 2 az' 4- 3 ^3" 4- . . .

4oit se réduire à la yaleur U|. La série (a) montre que, réci* proquement , z' est une fonction monodrome de 1/ s'éyanouissant avec i/, et qui pourra se développer en série convergente iRÛvant les puissances croissantes de u\

fîn remplaçant ;$' par sa valeur dan$ l'équation (3), on voit

qijie rry 0St unc fonction monodromie de u\ ■

Ainsi , lorsque le coefficient dif]^rentiel U devient égal k une racine multiple différente de zéro, pour que la fonction intégrale u ré9te monodrome , il est nécessaire que la fonction implicite U , définie par l'équation

reste elle-même fonction monodrome de u. C'est ce que l'on reconnaîtra aisément par la méthode employé^ par M. Puiseux pour l'étude des fonctions algébriques.

246. Supposons maintenant que le coefficieqt différentiel U devienne égal à une racine multiple nulle. Posons, comme précédemment,

QZ

l'équation (i) ne renfermera que des termes infiniment petits contenant en facteurs des puissances de u' et de U. . Goiqane l'a fait voir M. Pisseux, quand plusieurs racines leviennent égales entre elles en un certain point ^' = o, elles Se disposent par groupes de n racines qui se permutent le Unes dans les autres circulairement, lorsqu'çn tourne autour ie ce point, et les n racines du groupe se développent en une

%g4 WV»E ▼!.

série convergente ordonnée suivant les puiswnces croissante» de ^' ,

]!f ous n^avons pas à nous occuper du cas où le degré du pre^ XDÎer terme est égal o.u supérieur à Funité; car, dans ce eas^ quand u' tend vers zéro, js' augmente indéfiniment, et la circonstance dont il s'agit ne se présente pour aucune valeur finie de z. Nous supposerons donc Texposant du premier terme plus, petit que Tunité» et nous allons démontrer que la condition nécessiurQ et suffisante pour que la £Duotioa intégrale reste

monodrome, c'est que o^ premier exposant £ soit de la forme

« » - " *. ou ^ -

En effet I si la fonction u^ est monodrome» elle se développera suivant les puissances entières croissantes de z^ et coiftoie la dérivée s^annule avec z'^ la série ne contiendra pas d^ termes du premier degré. On aura donc

(5) u' = aTi^^ht!'^' 4- cV^' -f-. . . ; d'où Ton déduit

(6) ^ ^ nazf^' -h (« 4- i) dV» -^ . . .. .

En vertu de la série (5), 5' est une fonction de u' qui se déve» loppe en série convergente suivant les puissances croissantes

de m''*, de telle sorte que

Si l'on remplace ^' par »a valeur dans Téquation (6) y on aura une série de la forme

INTÉGRATION PAR LBi FONCTIONS ELLIPTIQUES. ^qS

Ceci montre bien que le premier terme de la tërie (4) doit «Yoir son exposant - irréductible et de la forme ■ "^ ou

n Cette condition est suffisante *, car si elle est remplie , Téquatien différentielle donnera pour le coefficient différentiel un développement de la forme

En posant on obtient

et plus simplement

J»'' A B „ C , dv n n n

du!' Le coefficient différentiel -^ étant une fonction monodrome

de vP ne s'annulant pas pour ii^= o, la fonction intégrale vl' est une fonction monodrome de 2^ et, par conséquent, vt est elle-même une fonction monodrome de al ,

2i7. La fonction intégrale u peut encore acquérir des va-> leurs multiples d'une autre manière^ c'est lorsqu'elle devient infinie pour une valeur finie z^ de la variable z. L'équation différentielle , ordonnée suivant les puissances décroissantes de

---9 s'écrira dz

Nous remarquons d'abord que les coefficients ^ que nous avons désignés par f^ (ii) ,/*, (u)» . . . , doivent être des fonctions entières de ii« Car, si la fonction intégrale est monodrome

du

dz ""

JT'

ag6 LIVRE Vf.

dans toute retendue du plan , sa dérivée jouit de la même propriété et ne devient infinie que lorsque la fonction u devient elle-même infinie. Or, si l'un des coefficients était une fraction rationnelle en u , il deviendrait infini y ainsi que -j j pour

une valeur finie de u.

Pour voir ce qui arrive quand la fonction u devient infinie pour une valeur finie de la variable, posons

d'où l'on déduit

]j' équation différentielle devient

Pour que la fonction intégrale i^ soit monodrome, il faut d'à-bord, d'après ce que nous venons de dire, que cette nouvelle équation ait tous ses coefficients entiers* Ainsi le polynôme yi (u) sera au plus du second degré, /t (u) au plus du quatrième d^réy . . . ,fm {u) au plus du degré a m.

Afin de rendre u infinie, faisons t^ = o. Si, pour t^:?= o, l'équation (9) n'admet que des racines simples, la fonction p". sera monodrome et, par conséquent, la fonction u le sera également. Si l'équation admet des racines multiples, on leur appliquera les caractères donnés précédemment.

248. En résumant ce qui précède, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Théorème IV. — Pour qiHune équa^on différentielle du premier ordre de la forme

idmette une intégrale monodrome : \^ les coefficients f^^ (u), ^t(^)' • • tfm{^) doivent être des polynômes entiers en u et, m pluSy le premier du second degré^ le second du quatrième iegré, . , . , le dernier du degré 2 m; 2® quand, pour une certaine valeur de u, l'équation a ui\e racine multiple différente de jçéroy — doit rester monodrome par rapport à u$

i^ quand, pour une certaine valeur u^ de u, Véquation a une racine multiple égale à zéro^ le premier terme du développe^

f Tient de 3-» suivant les puissances croissantes de [u — Mi)">

doit avoir F exposant , si cet exposant est plus petit que

V unité ; 4** enfin Véquation différentielle que Von déduit de

la première en posant uz=-^ doit offrir^ pour i^rzro, les

mêmes caractères, II est évident que cqs conditions sont suffisantes.

Moyens de reconnattre V espèce de la fonction intégrale,

249. Nous avons donné les oaractères auxquels on recon» nait si l'intégrale est monodrome. Nous savons d'ailleurs que, lorsqu'elle est monodrome, l'intégrale est, ou rationnelle, oit simplement périodique , ou doublement périodiqije. Nouf allons faire voir maintenant cqmn^ent oq distingue à laquelle de ces trois catégories appartient la fonction intégrale.

{1 peut arriver que, u étant considérée coinme la variable et z comme la fonction, z devienne infinie quand u tend vers une certaine valeur. Si, pour une valeur finie i/i de m, l'équation (8) admet une racine nulle, et si le premier terme d\\ développement

du "^

a un exposant - égal ou supérieur à l'unité, il est évident que, (orsiqiie u tendra vers la valeur Ut, z augmentera indéfiniment.

298 LIVllB VI.

De même, si, pour îf = o, réquation (9) «dmet une radae nulle d'un d^ré égal ou supérieur à Tunité par rapport i v^ quand u tendra yers zéro, ou u vers Tinfini, z augmeotera indéfiniment.

250. Quand aucune de ces circonstances ne se présente, c'est-à-dire quand, dans les équations (8) et (9), les racines nulles sont, par rapport au — Ui ou i 1^, d'un degré inférieur a l'unité, z ne devient infinie pour aucune valeur finie ou infinie de u. Il est aisé de voir que, dans ce cas, la fonction intégrale u est doublement périodique. Concevons, en effet, que la variable u se meuve dans toute l'étendue du jJan, partant de l'origine Fig. 33. u =s uo , suivant des chemins

rectilignea, et aussi en décrivant les m — I contours qui

font acquérir à — les m valeurs qu'il, peut avoir en chaque point. Puisque la fonction z conserve une valeur finie, elle décrira une portion limitée du plan {Jig. 33). Prenons un point M' en dehors de cette portion du plan; z étant considérée conm^e la variable et u comme la fonction, quand z arrivera au point M^ la fonction u aura une valeur

déterminée, ainsi que sa dérivée — • A ces valeurs de u et

de — correspond , dans la portion limitée du plan , un certain

point M ^ le quantité géométrique MM', que nous désignerons par w, est une première période. Car, aux deux points M et M',

la fonction u et sa dérivée — ayant les mêmes valeurs, il est

clair que, si la variable ^, partant de chacun de ces deux points, décrit des lignes égales et parallèles, telles que MN, M' N', la fonction u aura sur ces deux lignes , aux points correspondants N, N', la même valeur. Ainsi la portion finie di^ plan abcd se reproduit à côté une première fois, puis unQ

seconde fois, et indéfiniment. On obtient de la sorte une bande indéfinie. Prenons, en dehors de cette bande, un point M^"^; à ce point M'^ correspond un point M dans la portion finie du plan abcdj et Ton verra de même que la quantité géométrique MM'^, que nous désignerons par a»', est une seconde période. Grâce à ces deux périodes a> et tù\ la portion limitée du plan abcdy se reproduisant dans les deux sens, couvrira tout le plan. Ainsi, dans le cas que nous considérons, la fonction intégrale u est doublement périodique.

n est évident d'ailleurs que cette condition est nécessaire^ car une fonction doublement périodique prend toutes les valeurs , quand la variable z se meut dans un parallélogramme des périodes, et elle décrit un nombre infini de contours quand z augmente indéfiniment. Réciproquement, z ne peut devenir infinie que si u décrit un nombre infini de contours.

231 . Considérons maintenant le cas où l'intégrale est rationnelle, et supposons d'abord que le degré du numérateur ne (surpasse pas celui du dénominateur. Quand z augmentera ii^définiment, u tendra vers une valeur finie et déterminée u^. Si l'on pose

u! se développera suivant les puissances entières croissantes de t pour toutes les valeurs de t inférieures à un certain module 9 ou pour toutes les valeurs de z supérieures à un certain module, et l'on aura

a' == fl/« -f. ^^«+1 4- . , . .

On en déduit

les nouveaux coefficients étant liés aux premiers par les relations

a'"=i^, W-j-/ia*' = o,...

En différend ant, on a

-^ = /îfl/"-' 4- (/i + ^/" H- . . • , si l'on remplace t par sa valeur en fonction de a', il vient

nH-i «-h3 w-H-4

(lo) ^'= A«'"^ + Ca'""^-i-D.w' " 4-....

^ ' dz

Il est à remarquer que, en vertu des relations qui existent entre

les coefficients , le coefficient du terme en vl " est nul. Ainsi, à une valeur finie i/i de u correspond, dans Téquation diflTérenlielle, un groupe de n racines égales à ^éro, et telles que le premier terme du développement a un exposant irréductible supérieur à l'unité et de la forme ou i -f- -» le ' second

^ ri n

terme manquant.

Si le numérateur, de la fractictn ratiopnelle est d'un degré plus élevé que le dénominateur, u augmentera indéfinimient avecz-,

mais 1^ = - tendra vers zéro, et, pour 1^ = 0, l'équation {9)

offrira un groupe de n racines égales à zéro satisfaisant aux conditions énoncées plus haut.

Réciproquement, si l'équation (8) pour une valeur finie Mi de M, ou l'équation (9) pour 1^ = 0, présente un groupe de n racines égales à zéro satisfaisant à ces conditions, c'est-à-dire ayant un développement de la forme (10), la fonction intégrale est algébrique. Car, si l'on pose m'=m''", Féquation [\o\ devient

dz

ndu"

= dz.

(^,H- C'4- D'f."H-. . \ d^t" = dz-.

INTÉGRATION PAn LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3oi

eu intégrant et ajoutant une constante arbitraire B'^ on a

On conclut de là que u^' est une fonction monodrome pour

toutes les valeurs de t inférieures à un certain module - 9 et

qui se développe en série convergente suivant les puissances

entières croissantes de f ,

on a donc

n en résulte que la fonction u conserve une valeur finie pour toutes les valeurs de z extérieures au cercle décrit de Forigine comme centre avec un rayon égal à R ; c'est donc une fonction rationnelle.

Lorsque la fonction intégrale n'est ni doublement périodique, ni rationnelle, elle est simplement périodique. C'est d'ailleurs ce que Ton reconnaît directement, lorsque l'équation différentielle, pour une valeur finie de 11, ou Inéquation (9) pour i^= o, admet une racine nulle qui ne présente pas les caractères énoncés plus baut, et en même temps on trouve la période.

252. En résumant ce qui précède, nous avons le théorème suivant :

Théorème. V. — Lorsque l* équation différentielle remplit les conditions qui rendent V intégrale monodrome y i^ Vinté^ grale est doublement périodique, si Féquation proposée, pour aucune valeur finie Mj de u, et la transformée pour i^ = o, n'admettent de racine nulle d'un degré égal ou supérieur à l'unité par rapport au — 1*1 ou à u^ ii? l'intégrale est ration-nelle^ si l'équation proposée pour une valeur finie Wj de u.

3oa Lrvnt: vi.

ou la transformée pour v :=zo^ admet wt groupe 4e n racines

égales à zéro, dont le dév^eloppement, suwant les puissances

croissantes de [u — iij)" ou de i^", commence par un terme du

degré , le terme suit^ant du degré étant nul}

3° autrement la fonction est simplement périodique.

Quand on a ainsi reconnu la nature de Tititégrale, on peut se proposer de la déterminer à Taide de» éléments ctonus^ Si elle est rationnelle , on trouvera les deux polynômes qui la composent. Si elle est simplement périodique, on Texprimera rationnellement àTaide de l'exponentielle ou de la tangente* Si elle est doublement périodique, on Texprim^ra rationnellement à Taide de la fonction elliptique et de sa dérivée; ce qui constitue une véritable intégration au moyen des Tabks des fonctions elliptiques.