Ccmsidérons d'abord le cas très-simple où le second

p membre ne contient qu'un seul facteur (u — a)". Si l'exposant - est inférieur à l'unité ^ il doit être de la forme i :

mais alors l'exposant de p dans la transformée est i + - ; donc

l'intégrale est rationnelle et ne devient infinie que pour z = oo ;

c'est une fonction entière du degré n (n° 251). Si l'exposant-

est supérieur k l'unité, celui de t^ étant inférieur à l'unité et

devant être de la forme i > il faut que - soit égal à i -f* -5

la fonction est rationnelle et tend vers a quand z augmente

indéfiniment. Si l'exposant -est égal à l'unité, celui de t^ est

aussi égal à Fimité, l'intégrale est m^nodrome et simplement périodique.

255. Supposons maintenant que le second membre contienne au moins deux facteurs.

Si le premier exposant ^ est plus grand que l'unité, il n'y

aura que deux facteurs, sans quoi la somme des exposants surpasserait deux, puisque chaque exposant est au moins égal

3o4 LIVKE VI.

à — Le scconcl exposant ^ étant inférieur à runité et de la

forme i ,t Texposant de i^ est i 4- -7 — -; élant plus petit

que l'unitë^, il doit être de la formé 1 -^ — ? d'où

Il faut que la soiïime des deux fractions — -f — surjpasse 1* unité; il n'y a qu'une manière d'arriver à ce résultat, c'est de prendre ;îi = I. alors - = I -I- -7- L'intégrale est rationnelle. On

l'obtient aisément par une intégrale binôme. Ainsi l'équation différentielle

n-hi n— I an

admet une iut^rale rationnelle, quel que soit /?.