Quand le premier exposant- est égal à l'unité, il ne

peut y avoir que trois facteurs au plus. S'il y en a trois, pour que la somme des deux autres exposants ne surpasse pas Tu-

nilé, il faut prendre^ = ^, = -. S'il n'y a que deux facteurs,

lé second exposant peut aussi être égal à l'unité ; s'il est plus

petit que l'unité et de la forme i 7» pour que l'exposant ~

de i* soit de la même forme, il faut prendre w' = 2. Nous trouvons ainsi trois équations difTérenti elles

du , . i

INTÉGRA.TIOM PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3(»5

qui admettent des intégrales inonodromcs et simplement périodiques. On sait intégrer ces équations.

257. Il nous reste maintenant à examiner le cas où tous les exposants sont inférieurs à l'unité. Nous remarquons d'abord

que chacun des exposants étant de la forme i et, par conséquent, égal ou supérieur à -^ il est impossible que le second

membre renferme plus de quatre facteurs, sans quoi la somme des exposants surpasserait 2. Il n'existe même qu^une seule combinaison de quatre facteurs : on l'obtient en prenant les

quatre exposants égaux à -, on a ainsi l'équation différentielle

qui admet pour intégrale une fonction monodrome doubleblement périodique. L'exposant de 1^, dans la transformée, étant égal à zéro, la fonction a deux infinis simples dans chaque parallélogramme élémentaire.

Voyons les combinaisons de trois facteurs. Les trois expo-

sanis-?—»— étant delà forme i >i ;>! ^75 l'ex-

posant de u est

Pour que cet exposant soit positif, il faut que le plus petit des trois nombres «, n', n^' ne surpasse pas 3. Supposant donc ces nombres rangés par ordre de grandeur croissante, nous ne pouvons faire sur le premier d'entre eux n que deux hypothèses, savoir : ;î == 2, « = 3.

1**. Soit /i = 2 ; l'exposant de \^ se réduit à -7 -h -7; Pour

que cet exposant soit positif, il faut que le plus petit des deux nombres n! et n" ne surpasse pas 4 \ nous pourrons donc faire sur n! trois hypothèses : n'= 2, /î'= 3, n' = J\. Si 7î'= 2 ,

3o6 LIVRE VI.

pour que l'exposant de i^, qui se réduit à — ,> ait la forme convenable I > il faut prendre n" = a . Si n' = 3 , l'exposant de ^',

qui est ici -77 — ^> doit se réduire à zéro; il faut prendre

n"=6. Si a/= 4 9 l'exposant de i', qui est ici -^ — j? devant encore se réduire à zéro, on prendra w" = 4 •

2°. Soit n = 3 ; l'exposant de »^ est -7 H- — — ^ • Pour que

cet exposant soit positif, il faut prendre » = 3 , n" = 3. Nous trouvons ainsi les quatre équations différentielles

qui admettent pour intégrales des fonctions monodromes doublement périodiques.