Examinons enfin les combinaisons de deux facteurs

L'exposant de i* devient - H — ; ; cet exposant, ne pouvant dans

le cas actuel surpasser l'unité, sera égal à Tunité ou de la

forme i • Pour qu'il soit égal à l'unité, il faut prendre

n = n^= 2] ou obtient ainsi l'équation différentielle

qui admet une intégrale monodrome siniplement périodique. Si l'exposant de f^ est inférieur à l'unité et de la forme i ?

INTÉGBATION PAR LES FO^'CTIO^S ELLIPTIQIES. 'ioj

1 sera égal ou supérieur à -5 il faut pour cela que le plus petit

les deux nombres n einf ne surpasse pas 4 ; nous ne pouvous

ionc faire sur n que les trois hypothèses n = 2, 71= 3, « = 4.

I**. Soit n = a. L'exposant de 1^ devant être de la forme

1 — — > les deux nombres n' et w, vérifieront réfi^alité

! 7 = 1 » ou—tH = — Un peut satisfaire a cette

égalité de trois manières : en prenant n'= 3, /ii=6, ou /i' =r 6, /Il = 3, ou ;î' = 4j Wi = 4-

2**. Soit n = 3. Les deux nombres nf et Wi doivent vérifier

Tésalité -7 H = -rri qui admet deux solutions nouvelles,

onnf =. 3, /Il = 3, ou n!=6^ n^ = 2.

3^. Enfin soit;i=:4* Les deux nombres n^ et n^ doivent

vérifier l'égalité —7 H = 7» qui n'admet qu'une solution

/i /Il 4

nouvelle nf = 4, «1 = 2.

Nous trouvons ainsi les six équations différentielles

qui admettent pour intégrales des fonctions doublement périodiques.