Il résulte de ce qui précède que, parmi les équations

3o8 LIVWE VI.

tlifférenliclles de la forme

outre les cas particuliers dans lesquels l'intégrale est rationnelle ou simplement périodique, il y en a onze'qai donnent naissance à des fondions monodromes doublement périodiques, et il n'y en a que onze. Nous rangerons ces onze équations dans l'ordre suivant :

^'^ fâ' =G («- «) («-/.) (u-c) (u - d),

(^) (jy = G(«-'')'(«-6)%

fduX"

des fonctions se distinguent les unes des autres par les infinis. La valeur de Texposant de (^ dans Téquation transformée montre que, dans chaque parallélogramme des périodes, les deux fonctions^ définies par les deux équations du second de-

INTÉGRÀTIOM PAa LE» FOMCTiONS ELLIPTIQUES. Sop

gré, admettent : la première, un infini double; la seconde, deux infinis simples. Les fonctions, données par les deux équations du troisième degré, admettent : la première, un infini triple; la seconde, trois infinis simples. Les trois fonctions du quatrième degré ont : la première, un infini quadruple^ la seconde, deux infinis doubles; la troisième, quatre infinis simples. Enfin, les quatre fonctions du sixième degré admettent : la première, un infini sextuple; la seconde^ deux infinis triples; la troisième, trois infinis doubles; la (Quatrième, six infinis simples.

260. Dans le cas actuel , il est facile de vérifier les conséquences auxquelles nous sommes arrivés ; car, la fonction inverse étant donnée par une quadrature

on reconnaît aisément Texistence des périodes en suivant la méthode que nous avons employée, dans le chapitre m du livre II, pour les équations (i) et ( 2 ). Prenons comme exemple l'équation (i i) ; si , pour fixer les idées, on suppose qu'à z = o correspond la valeur initiale w = o, on aura à étudier l'intégrale définie

Marquons dans le plan les trois points a, fc, c, et appelons y

la quantité e ^ ou e ^ * Quand u décrit une petite courbe fermée autour du point a ( la valeur de ^ est multipliée par ;^ ; de^ même, quand u tourne autour du point S ou du point c, la valeur de - est multipliée par jf* ou par;.

Désignons par (A) le contour élémentaire que Ton a à considérer lorsque la variable u va en ligne droite de Forigine o à un point voisin du point a (fig. 34), puis décrit un petit

3lO LIVRE VI.

cercle autour du point a, et revient à l'origine par la même Fig. y,. ligne droite. Nous désigne-

rons de même par (B) et (C) les contours élémentaires qui se rapportent aux points b et c. Enfin nous représenterons par A, B, C, les valeurs de Pintégrale définie, quand u décrit chacun de ces trois

contours, U ayant à Forigine la valeur initiale Uq.

Si la variable u décrit successivement, et dans un ordre

quelconque, k fois le contour (A), h' fois le contour (B),

k" fois le contour ( C ) , la valeur de - sera multipliée par

jf"*+"*'+*". Pour avoir les périodes , il faut prendre les combinaisons qui ramènent la valeur initiale Uo (n^239), et par conséquent celles pour lesquelles l'exposant 3 Ar -+- 2 A' -H Ar" est un multiple de 6.

On pourrait prendre deux fois le contour (A), ou trois fois le contour (B), ou six fois le contour (C) ; mais dans ce cas la valeur de l'intégrale définie est nulle. Par exemple, décrire six fois le contour (C) revient à marcher d'abord suivant le chemin rectiligne oc^ puis faire six fois le tour du point c , ce qui

ramène la valeur primitive de - ^ et enfin revenir à l'origine

suivant la droite co ] Tintégrale définie le long des petits cercles étant infiniment petite , et les deux chemins rectilignes

parcourus en sens inverse avec la même valeur de =- se détruisant , il est clair que l'intégrale totale est nulle.

On revient aussi à la valeur initiale, quand on parcourt successivement les trois contours (A), (B), (C), ce qui correspond à la solution

mais Tintégrale définie est encore nulle. En eflel, de rorigine comme centre avec un rayon très-grand, décrivons un cercle

IIVTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3ll

!t supposons que la variable parcoure d'abord un rayon , puis a circonférence, et revienne à Forigine par le même rayon. !^e contour équivaut à la somme des trois contours élémentaires

>rîs dans un ordre convenable, et - reprend sa valeur pri-

nitive 5 l'intégrale le long de la circonférence infiniment grande

étant infiniment petite puisque r- est un infiniment petit du

second degré, et les deux chemins reclilignes se détruisant, Tintégrale totale est nulle. On a donc, en supposant les trois points a, 6, c, disposés comme l'indique la figure,

Comme p= — 1 , il résulte de là

A = B + Cy%

et le contour élémentaire (A) peut être remplacé par la somme des deux contours (B) et (C ). U suffit donc, pour avoir toutes les périodes, de combiner les deux contours (B) et (Cj^de manière que 2k -h k^ soit égal à 6. Cette équation admet les deux solutions

A'=i,r = 4 et x-' = 2,r = 2.

Considérons d'abord la solution A^r= 1 , Z:^ = 4 , qui indique une fois le contour (B) et quatre fois le contour (C). On peut parcourir ces contours dans différents ordres :

i^. D'abord le contour (B), puis quatre fois successivement le contour (C), ce qui donne l'intégrale définie, ou 1» première période

B -+- C/ -h C/ + C/ -+- Cy* = B — C — Cy = » j

a'\ D'abord une fois le contour (C), puis (B),.et ensuite trois fois (C), ce qui donne la seconde période

C 4- By 4- Cf 4- Cf 4- Cf =r wy ; î^. D'abord deux fois (C), puis (B), et ensuite deux fois

3ia LIVRE VI.

C + Cy + B/4- C/ -+- CP = t^f = «y — w;

4°. D'abord trois fois (C) , puis (B) et ensuite (C), ce qui donne

C + Cy 4- C/ -h B/ H- Cy^ = «/»= — » ;

5**. D'abord quatre fois (C), puis (B), ce qui donne