C -H Cy -+- Cf -+- Cf 4- By ♦ = wy« = — wy

On voit que toutes les périodes se ramènent aux deux premières.

Considérons maintenant la solution k!=2^k"r= a. Les trois combinaisons

C -4- Cy -f-By^ 4- B/ = C 4- Cy — B = — «, B 4- Cy'4- Cy^4- By» = — a>y% B 4- By»4- C/4- Cy^ = — «/,

donnent encore des périodes qui se ramènent aux précédentes. Ainsi il n'y a que deux périodes distinctes, w et (ùj\ À chaque valeur de u correspondent six valeurs de z ,

«> C4-ya = z', C4-Cy4-/z = 3", C 4- Cy 4- C/ -hfz = 2 Cy — z, C 4- Cy 4- Cy-»4- Cf -hy<« = aCy — z\ e 4- C/ 4- Cy-'4- Cy-' 4-'Cy* +/ z = 2 Cy - z'\

261 . Par des transformations convenables , il est possible d'exprimer, à l'aide des fonctions elliptiques, les onze fonctions doublement périodiques dont nous avons reconnu l'existçnce.

Si l'on pose

u r=fl4--,

OU voit d'abord que l'équation (2) se ramène à l'équation (i),

INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3l3

Féquation (4) à Féquation (3). En posant

on ramène de même les équations (6) et (7) à Téquation (5) , les équations (9) et (10) àTéquation (8). En posant

on ramène aussi l'équation (1 1) à Téqualion (8).

Mais on ramène les équations (5) et (8) à Féquation (i) , en posant, dans le premier cas ,

« = ô H- u'\ dans le second cas

Il reste donc à exprimer, à Taide des fonctions elliptiques, les fonctions définies parles équations (1) et (3). Si Ton pose

Tëquatiou (i) devient

A' et A'* dési«:nant les constantes t » Si Ton fait

maintenant m'= — > Féquation se réduit à

cette dernière équation admet pour intégrale générale

a désignant une constante arbitraire.