Occupons-nous maintenant de Féquation (3) que, par
3l4 LIVRE VI.
une liansformation facile, on peut mettre sous la forme
Nous supposons, pour simplifier, que, dans celte dernière équation, à z c=: o correspond la valeur initiale a = oet
— = I . La fonction définie par cette équation différentielle
est impaire. Si l'on appelle o) et «' ses deux périodes, on sait, d'après un raisonnement déjà fait plusieurs fois, que les quatre
valeurs z = o, z=-, r = — > z = 9 rendent la fonc-
tion nulle ou infinie; cette fonction admettant un infini triple, nous pouvons supposer que cet innni triple est ? lestrois
zéros étant o, -, ~ Soit X(g^z, k) la fonction elliptique qui 2 2
admet les deux périodes w et w' ; il est clair que l'expression de Il en fonction de X aura la forme suivante :
(i3) a= AV-f-B^ + Cn'.
n s'agit de déterminer les cinq constantes A, B, C, g, k* En différentiant , on a
du
— = ^(3AVV-hBV4-CV'4- CXr).
Aux trois valeurs z = o, z=:-? z = — » correspondent pour
^ les valeurs i , — — » — , qui sont les trois
racines cubiques de l'unité. Si Ton fait z = o, z = -, il vient
INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3l5
d'où
Servons-nous maintenant de la valeur de X (2) développée en série
et
posons r = h ^ , on
'(') = Tr(7-) = J7+ -61- *+•••'
et en substituant dans la valeur de i/, après avoir remplacé z par gz.
La fonction devant s^évanouir pour z^ = o, il en résulte les deux conditions
A — C X- = o, A (i 4- X-') + 2BX» = o;
on en déduit
^^— 2/V3.^4-i = o; d'où
Posons enfin z = h «', m = - ; Féquation diflTéren-
tielle (12) devient
dv i ?
3l6 LIVRE VI.
d'où
et, par suite,
D'un autre côté, la fonction ^(z) et ses dérivées, pour | z = h -z' et z = h «' ayant des valeurs égales et de
signes contraires, on a on en déduit
Si l'on remplace A et C par leurs valeurs, il vient
Toutes les constantes sont déterminées, et l'intégrale de l'équation (12) est exprimée au moyen de la fonction elliptique X (gz) et de sa dérivée.
Chacune des transformations que nous avons effectuées donne l'intégration d'une équation différentielle. Par exemple, l'équation finie (i3) est l'intégrale de 1 équation différentielle du d\
'^(izr^-g^^i-v) (I - A-n»)'
dans laquelle g etk ont des valeurs convenables.
