Revenons à l'équation générale

INTÉGRATION PAU LES FOHCTIOKS ELLIPTIQUES. 3l7

Soit u, une valeur de u pour laquelle l'équation admet une racine double U| différente de zéro; on aura

et si Ton élimine Ui entre ces deux équations, on obtiendra une équation

à laquelle devront satisfaire les valeurs de ii pour lesquelles U prend des valeurs multiples.

Posons M = M, 4- m', u = u, -f- U'; l'équation diflerenlielle devient

Comme U'doit rester nionodrome par rapport à // (n" 245),

il est nécessaire que

L'équation (4) n'est autre chose que Téquation (a), dans laquelle on regarde Ui comme une fonction de i/j donnée par Téquation (3) ^ on a donc

ffy dF d¥ HV, dui dtii dUi duy

Ainsi Téquation (4) n'aura que des racines doubles; 9(") sera, en général, un carré parfait.